2012-2013学年浙江省金华市兰溪三中高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线x+y-1=0的倾斜角是（ ）
A．30°
B．120°
C．135°
D．150°

2. 难度：中等

在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也必要条件

3. 难度：中等

从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为2、3、6，则它的体积为（ ）
A．6
B．36
C．
D．2

4. 难度：中等

已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，以下有三种说法：
①若α∥β，β∥γ，则γ∥α； ②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；
③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．
其中正确命题的个数是（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个

5. 难度：中等

已知椭圆+=1上一点P到右焦点的距离是1，则点P到左焦点的距离是（ ）
A．2
B．4
C．2-1
D．4-1

6. 难度：中等

正方体内切球和外接球半径的比为（ ）
A．1：
B．1：
C．：
D．1：2

7. 难度：中等

若圆C与圆（x+2）²+（y-1）²=1关于原点对称，则圆C的方程为（ ）
A．（x-2）²+（y+1）²=1
B．（x+1）²+（y-1）²=1
C．（x-1）²+（y+2）²=1
D．（x+1）²+（y-2）²=1

8. 难度：中等

以椭圆+=1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1或-=1
D．以上都不对

9. 难度：中等

在△ABC所在平面a外有一点P，且PA=PB=PC，则P在a内的射影是△ABC的（ ）
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心

10. 难度：中等

过双曲线的左焦点F（-c，0），（c＞0），作圆：x²+y²=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是    ．

12. 难度：中等

过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是    ．

13. 难度：中等

如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是    ．

14. 难度：中等

若椭圆的离心率为，则k的值为    ．

15. 难度：中等

已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P（2，2）为AB的中点，则抛物线C的方程为    ．

16. 难度：中等

已知点M（a，b）在直线3x+4y=15上，则的最小值为    ．

17. 难度：中等

如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①直线BE与直线CF异面；
②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD．
其中正确的命题的个数是    个．

三、解答题

18. 难度：中等

已知直线l₁：x+m²y+6=0，l₂：（m-2）x+3my+2m=0．当m为何值时l₁与l₂
（1）相交，
（2）平行，
（3）重合．

19. 难度：中等

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AD₁∥平面DBC₁；
（Ⅱ）求AE与平面ABCD所成角的余弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求椭圆的方程．
（2）求m的取值范围．
（3）当m=1时，求弦长|AB|的值．

21. 难度：中等

一个简单多面体的直观图和三视图如图所示，它的主视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，俯视图为正方形，E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）求证：PC⊥BD；
（Ⅲ）求三棱锥C-PAB的体积．

22. 难度：中等

已知定点F（0，1）和直线l₁：y=-1，过定点F与直线l₁相切的动圆圆心为点C．
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）若A，B是所求轨迹上的两个点，满足OA⊥OB（0为坐标原点），求证：直线AB经过一个定点．
（3）过点F的直线l₂交轨迹于两点P、Q，交直线l₁于点R，求•的最小值．