2012-2013学年福建师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A=45°，a=6，b=，则B的大小为（ ）
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°

2. 难度：中等

已知c＜d，a＞b＞0，下列不等式中必成立的一个是（ ）
A．a+c＞b+d
B．a-c＞b-d
C．ad＜bc
D．（-2，10）

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₃+a₉=8，则数列{a_n}的前11项和S₁₁等于（ ）
A．22
B．33
C．44
D．55

4. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且，那么的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式．若数列{a_n}的前n项和，则n等于（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

6. 难度：中等

下列命题中正确的是（ ）
①“若x²+y²≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m＞0，则x²+x-m=0有实根”的逆否命题；
④“若x-是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
A．①②③④
B．①③④
C．②③④
D．①④

7. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=ccosB，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形

8. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁＞0，S₅=S₁₂，则当S_n取得最大值时，n的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．8或9

9. 难度：中等

某人从2011年起，每年1月1日到银行新存入a元（一年定期），若年利率为r保持不变，每年到期存款（本息和）自动转为新的一年定期，到2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为（单位为元）（ ）
A．a（1+r）⁵
B．[（1+r）⁵-（1+r）]
C．a（1+r）⁶
D．[（1+r）⁶-（1+r）]

10. 难度：中等

已知关于x的不等式ax²+x+1＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知a，b为正实数，且，若a+b-c≥0对于满足条件的a，b恒成立，则c的取值范围为（ ）
A．
B．（-∞，3]
C．（-∞，6]
D．

12. 难度：中等

关于x的一元二次方程x²-2ax+a²-1=0的两个根均在区间（-2，4）内的必要不充分条件是（ ）
A．a＜-1
B．-1＜a＜3
C．0＜a＜3
D．a＜3

二、填空题

13. 难度：中等

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1=a_n+2n，则a₁₀=    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}，S_n是数列{a_n}的前n项和，且，则a_n=    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知B=60°，不等式x²-4x+1＜0的解集为{x|a＜x＜c}，则b=    ．

16. 难度：中等

在约束条件下，过点（1，1）目标函数z取得最大值10，则目标函数z=     （写出一个适合题意的目标函数即可）．

17. 难度：中等

已知a_n=2ⁿ，把数列{a_n}的各项排成如图三角形状，记A（i，j）表示第i行中第j个数，则结论
①A（2，3）=16；
②A（i，3）=2A（i，2）（i≥2）；
③[A（i，i）]²=A（i，1）•A（i，2i-1），（i≥1）；
④A（i+1，1）=A（i，1）•2^2i-1，（i≥1）；
其中正确的是    （写出所有正确结论的序号）．

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足A=45°，．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）设a=5，求△ABC的面积．

19. 难度：中等

已知关于x的不等式．
（Ⅰ）当a=1时，解该不等式；
（Ⅱ）当a＞0时，解该不等式．

20. 难度：中等

福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：

每台空调或冰箱所需资金（百元）
空调	冰箱
进货成本	30	20	300
工人工资	5	10	110
每台利润	6	8

问：如果根据调查得到的数据，该商场应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？

21. 难度：中等

攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图（1）在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所在位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地面的距离，以备发生危险时进行及时救援．为了方便测量和计算，画出示意图，如图（2）所示，点A，C分别为两名攀岩者所在位置，点B为山的拐角处，且斜坡AB的坡角为θ，点D为山脚，某人在地面上的点E处测得A，B，C的仰角分别为α，β，γ，ED=a，求：
（Ⅰ）点B，D间的距离及点C，D间的距离；
（Ⅱ）在点A处攀岩者距地面的距离h．

22. 难度：中等

已知点（x，y）是区域，（n∈N^*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z_n．若数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且点（S_n，a_n）在直线z_n=x+y上．
（Ⅰ）证明：数列{a_n-2}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{S_n}的前n项和T_n．

23. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）+f（1-x），x∈R的值；
（Ⅱ）若数列{a_n} 满足an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N^*），求数列{a_n} 的通项公式；
（Ⅲ）若数列 {b_n} 满足b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，S_n 是数列 {b_n} 的前n项和，是否存在正实数k，使不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．