2012-2013学年北京市东城区示范校高三（上）12月联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={1，2，3，4}，Q={x||x|≤2，x∈R}，则P∩Q等于（ ）
A．{1，2}
B．{3，4}
C．{1}
D．{-2，-1，0，1，2}

2. 难度：中等

复数的值是（ ）
A．2i
B．-1+i
C．1+i
D．1

3. 难度：中等

下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1
B．a＞b-1
C．a²＞b²
D．a³＞b³

4. 难度：中等

已知向量=（1，x），=（-1，x），若2-与垂直，则||=（ ）
A．
B．
C．2
D．4

5. 难度：中等

某一棱锥的三视图如图所示，则其侧面积为（ ）

A．8+4
B．20
C．12
D．8

6. 难度：中等

右面是一个算法的程序框图，当输入的值x为5时，则其输出的结果是（ ）

A．2
B．0.5
C．1
D．0.25

7. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-（a∈R），下列说法正确的是（ ）
A．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数
B．∀a∈R，f（x）在（-∞，0）上是减函数
C．∃a∈R，f（x）是R上的常函数
D．∃a∈R，f（x）是（0，+∞）上的单调函数

8. 难度：中等

如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA•AC=1，∠ABC=θ（0＜θ＜），则四棱锥P-ABCD的体积V的取值范围是（ ）

A．[）
B．（]
C．（]
D．[）

二、填空题

9. 难度：中等

若实数x、y满足不等式组则2x+3y的最小值是     ．

10. 难度：中等

公比为2的等比数列{a_n}的各项都为正数，且a₂a₆=16，则a₄=    ；a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=    ．

11. 难度：中等

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a=2，cosB=，b=3，则sinA=    ．

12. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f′（x）＞0，且，则不等式f（x）＜0的解集为    ．

13. 难度：中等

与直线x+y-2=0和曲线x²+y²-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是    ．

14. 难度：中等

已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0的两侧，则下列说法正确的是     ．
①2a-3b+1＞0；
②a≠0时，有最小值，无最大值；
③∃M∈R⁺，使＞M恒成立；
④当a＞0且a≠1，b＞0时，则的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2cos²+sinx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}是一个等差数列，且a₂=5，a₅=11．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）令b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n．

17. 难度：中等

已知ABCD是矩形，AD=2AB，E，F分别是线段AB，BC的中点，PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：DF⊥平面PAF；
（Ⅱ）在棱PA上找一点G，使EG∥平面PED，并说明理由．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-2x+5．
（Ⅰ）若f（x）在区间（-，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的值；
（Ⅱ）求正整数a，使得f（x）在区间（-3，）上为单调函数．

19. 难度：中等

已知椭圆G：的离心率为，且右顶点为A（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线l与椭圆G交于A，B两点，当以线段AB为直径的圆经过坐标原点时，求直线l的方程．

20. 难度：中等

已知函数y=f（x）的图象与函数y=a^x-1（a＞1）的图象关于直线y=x对称．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[log_a，log_a]，求实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=log_a（x²-3x+3），F（x）=a^{f（x）-g（x）}，其中a＞1．若w≥F（x）对∀x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围．