2012-2013学年贵州省安顺学院附中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知角θ满足tanθ＞0且sinθ＜0，则θ所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₂=1，a₄=5，则{a_n}的前5项和S₅=（ ）
A．7
B．15
C．20
D．25

3. 难度：中等

设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．且
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知sinα+cosα=，α∈（0，π），则tanα等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知对任意实数x，有f（x）+f（-x）=0，g（x）-g（-x）=0，且当x＞0时，f′（x）＜0，g′（x）＜0，则当x＜0时，有（ ）
A．f′（x）＞0，g′（x）＞0
B．f′（x）＞0，g′（x）＜0
C．f′（x）＜0，g′（x）＞0
D．f′（x）＜0，g′（x）＜0

6. 难度：中等

若函数f（x）=ax•cosx在点O（0，0）处的切线与直线x-2y+3=0平行，则a=（ ）
A．
B．
C．-2
D．2

7. 难度：中等

公差不为0的等差数列{a_n}中，有，数列{b_n}是各项为正数的等比数列，且b₇=a₇，则log₄b₁+log₄b₂++log₄b₁₃=（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13

8. 难度：中等

将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是（ ）
A．
B．1
C．
D．2

9. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若．且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S₂₀₁₁=（ ）
A．1006
B．1005.5
C．2012
D．2011

10. 难度：中等

若，，均为单位向量，且，，则的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2

11. 难度：中等

已知定义在区间上的函数y=f（x）的图象关于直线对称，当时，f（x）=sinx，如果关于x的方程f（x）=a有解，记所有解的和为S，则S不可能 为（ ）
A．
B．-π
C．
D．

12. 难度：中等

设函数f（x）=e^x（sinx-cosx），若0≤x≤2011π，则函数f（x）的各极大值之和为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知，则=    ．

14. 难度：中等

若等比数列{a_n}的前n项和S_n满足，则实数λ=    ．

15. 难度：中等

已知a、b、c分别为三角形ABC的内角A、B、C的对边，向量，且，则内角A的大小为    ．

16. 难度：中等

已知不等式2x-1＞m（x²-1）对一切|m|≤2恒成立，则实数x的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L₁，L₂两条路线（如图），L₁路线上有A₁，A₂，A₃三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L₂路线上有B₁，B₂两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（Ⅰ）若走L₁路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若走L₂路线，求遇到红灯次数X的数学期望．

18. 难度：中等

如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，使，得到三棱锥B-ACD．
（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．

20. 难度：中等

已知点F是抛物线C：y²=x的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|=．
（Ⅰ）求点S的坐标；
（Ⅱ）以S为圆心的动圆与x轴分别交于两点A、B，延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点；
①判断直线MN的斜率是否为定值，并说明理由；
②延长NM交x轴于点E，若|EM|=|NE|，求cos∠MSN的值．

21. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，，其中n∈N^*．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求证：在数列{a_n}中对于任意的n∈N^*，都有a_n+1＜a_n；
（3）设，试问数列{c_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．

22. 难度：中等

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
（4）sin²（-18°）+cos²48°-sin²（-18°）cos48°
（5）sin²（-25°）+cos²55°-sin²（-25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．