2012-2013学年浙江省杭州高级中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线（a为实常数）的倾斜角的大小是（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

2. 难度：中等

已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（ ）


A．①②③⑤
B．②③④⑤
C．①②④⑤
D．①②③④

3. 难度：中等

将正方形ABCD沿对角线AC折起，当三棱锥B-ACD体积最大时，直线AD与BC所成角为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

与圆x²+y²-4y+2=0相切，并在x轴、y轴上的截距相等的直线共有（ ）
A．6条
B．5条
C．4条
D．3条

5. 难度：中等

直线a，b，c及平面α，β，下列命题正确的个数是（ ）
①若a⊂α，b⊂α，c⊥a，c⊥b 则c⊥α     ②若b⊂α，a∥b  则 a∥α
③若a∥α，α∩β=b  则a∥b               ④若a⊥α，b⊥α 则a∥b．
A．4
B．3
C．2
D．1

6. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D是A₁C₁的中点，则直线AD与平面B₁DC所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

直线y=kx+2与圆x²+y²+2x=0只在第二象限有公共点，则实数k的取值范围为（ ）
A．[，1]
B．[，1）
C．[，+∞）
D．（-∞，1）

8. 难度：中等

直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内

9. 难度：中等

设圆C：x²+y²=4，直线l：y=x+b．若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围是（ ）
A．[-，]
B．（-∞，-）∪（，+∞）
C．（-，-1）∪（1，）
D．（-，）

10. 难度：中等

如图，四面体DABC的体积为，且满足，则线段CD的长度是（ ）

A．
B．2
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是    cm³．

12. 难度：中等

如果两条直线l₁：x+a²y+6=0与l₂：（a-2）x+3ay+2a=0平行，则实数a 的值是    ．

13. 难度：中等

经过A（0，1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上的圆的标准方程是    ．

14. 难度：中等

如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于    ．

15. 难度：中等

已知A（-2，0），B（2，0），点P在圆（x-3）²+（y-4）²=4上运动，则|PA|²+|PB|²的最小值是    ．

16. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱CC₁的长为1，AC⊥BC，∠ACC₁=60°，∠BCC₁=45°，则该三棱柱的高等于    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设M是圆x²+y²-6x-8y=0上动点，O是原点，N是射线OM上点，若|OM|•|ON|=120，求N点的轨迹方程．

18. 难度：中等

在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC．BE和平面ABC所成的角为，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，DE=-1．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

19. 难度：中等

已知圆2x²+2y²-8x-8y-1=0的圆心为M，B为该圆上任意一点，当直线BM 与直线l：x+y-9=0 相交于点A时，圆上总存在点C使∠BAC=45°．
（1）当点A的横坐标为4时，求直线AC的方程；
（2）求点A的横坐标的取值范围．

20. 难度：中等

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a正方形，PD=2a，PA=PC=，
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求直线AC与平面PBC所成角的余弦值； 
（3）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径．