2012-2013学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）9月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩∁_UB=（ ）
A．{4，5}
B．{2，3}
C．{1}
D．{2}

2. 难度：中等

函数的定义域是（ ）
A．（2，3）∪（3，+∞）
B．（-2，+∞）
C．（-2，3）∪（3，+∞）
D．（2，+∞）

3. 难度：中等

三个数0.7⁶，6^0.7，log_0.76的大小关系为（ ）
A．0.7⁶＜log_0.76＜6^0.7
B．0.7⁶＜6^0.7＜log_0.76
C．log_0.76＜6^0.7＜0.7⁶
D．log_0.76＜0.7⁶＜6^0.7

4. 难度：中等

设D是由直线x=±π和y=±1所围成的矩形区域，E是D内函数y=cosx图象上方的点构成的区域，向D中随机投一点，则该点落入E（阴影部分）中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

给出下列个两个命题：命题p₁：y=ln[（1-x）（1+x）]为偶函数；命题p₂：函数是奇函数，则下列命题是假命题的是（ ）
A．p₁∧p₂
B．p₁∨¬p₂
C．p₁∨p₂
D．p₁∧¬p₂
E．p₁∧¬p₂
 
 
 

6. 难度：中等

定义运算：，则函数f（x）=1⊗2^x的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=，若数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^﹡），且{a_n}是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，3）
B．（，3）
C．（2，3）
D．（1，3）

8. 难度：中等

已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）-x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

9. 难度：中等

定义域为R的函数f（x）满足f（1）=1且f（x）的导函数，则满足2f（x）＜x+1的x的集合为（ ）
A．（-1，1）
B．（-∞，1）
C．（-∞，1）∪（1，+∞）
D．（1，+∞）

10. 难度：中等

若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（ ）
A．1+
B．1+
C．3
D．4

11. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+a的导数为f′（x），若使得f′（x）=f（x）成立的x＜1，则实数α的取值范围为（ ）
A．a＞1
B．a＜1
C．0＜a＜1
D．a≥1

12. 难度：中等

已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f（f（x））+1的零点个数的判断正确的是（ ）
A．当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有1个零点
B．当a＞0时，有3个零点；当a＜0时，有2个零点
C．无论a为何值，均有2个零点
D．无论a为何值，均有4个零点

二、填空题

13. 难度：中等

2log₅10+log₅0.25=    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=log_a（x+b）（a＞0，a≠1）的图象过点（2，1），其反函数的图象过点（2，8），则a+b等于    ．

15. 难度：中等

下列四种说法中，
①命题“存在x∈R，x²-x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x²-x＜0”；
②；命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；
③已知幂函数f（x）=x^α的图象经过点（2，），则f（4）的值等于
④某路公共汽车每7分钟发车一次，某位乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间超过3分钟的概率是．
说法正确的序号是    ．

16. 难度：中等

函数且a≠1），存在实数m＜n使不等式f（x）＞0的解集为（m，n），则a的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设函数f（x）=|2x-2|+|x+3|．
（1）解不等式f（x）＞6；
（2）若关于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集不是空集，试求a的取值范围．

18. 难度：中等

已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，-5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．

19. 难度：中等

已知函数．
（I）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（II）若对任意a∈[-1，1]，f（x）＞4恒成立，求实数x的取值范围．

20. 难度：中等

某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）
（1）请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小；
（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Eξ．

21. 难度：中等

已知函数．
（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）设h（x）=x•f（x）-x-ax³在（0，2）上有极值，求a的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（3）当x∈（0，e]时，证明：．