2012-2013学年福建省泉州市安溪八中高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

用列举法表示集合A={x|x=iⁿ+（-i）ⁿ，i是虚数单位，n∈N^*}，正确的是（ ）
A．A={-1，0，1}
B．A={0，1，2}
C．A={-2，0，2}
D．A={-2，-1，0}

2. 难度：中等

已知直线l₁：ax+2y+6=0，l₂：x+（a-1）y+a²-1=0，若l₁∥l₂，则a=（ ）
A．2
B．-1
C．2或-1
D．-2

3. 难度：中等

圆x²+y²-2x=0和x²+y²+4y=0的位置关系是（ ）
A．相离
B．外切
C．相交
D．内切

4. 难度：中等

已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a-c＞b-d”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

设集合A、B是非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A=，B={y|y=2x²}，则A×B等于（ ）
A．（2，+∞）
B．[0，1]∪[2，+∞）
C．[0，1）∪（2，+∞）
D．[0，1]∪（2，+∞）

6. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁₃=，则tana₇=（ ）
A．
B．
C．-
D．-

7. 难度：中等

下列命题中是假命题的是（ ）
A．∃a，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ
B．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数
C．∃m∈R，使f（x）=（m-1）•x ^m2-4m+3是幂函数，且在（0，+∞）上递减
D．∀a＞0函数f（x）=ln²x+lnx-a有零点．

8. 难度：中等

设，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

9. 难度：中等

圆x²+2x+y²+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

10. 难度：中等

函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线为：l：y=g（x）=f′（x）（x-x）+f（x），F（x）=f（x）-g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x＜b，那么（ ）


A．F′（x）=0，x=x是F（x）的极大值点
B．F′（x）=0，x=x是F（x）的极小值点
C．F′（x）≠0，x=x不是F（x）极值点
D．F′（x）≠0，x=x是F（x）极值点

二、填空题

11. 难度：中等

已知f（x）=，则f[f（）]=    ．

12. 难度：中等

    ．

13. 难度：中等

设x，y满足，则z=x+y的最小值为    ．

14. 难度：中等

“无字证明”（proofs without words），就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：    ．

15. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点对称，且满足，f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2006）的值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知定点P（2，4）和圆O：x²+y²=4．
（Ⅰ）求过点P与圆O相切的切线方程．
（Ⅱ）直线l经过点P且与圆相交于A，B两点，若，求直线l的方程．

17. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁=2，a₄=16
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

如图，五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四边形BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁为直二面角．
（Ⅰ）D在AC上运动，当D在何处时，有AB₁∥平面BDC₁，并且说明理由；
（Ⅱ）当AB₁∥平面BDC₁时，求二面角C-BC₁-D余弦值．

19. 难度：中等

如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），x∈[4，8]时的图象，图象的最高点为B（5，），DF⊥OC，垂足为F．
（I）求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；
（II）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，g（x）=x²-（a-1）x-f（lnx），且g（x）在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：对（-∞，+∞）上任意两个互异的实数x，y，都有；
（Ⅲ）已知△ABC的三个顶点A，B，C都在函数y=f（x）的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证△ABC是钝角三角形．并问它可能是等腰三角形吗？说明理由．

21. 难度：中等

（1）（选修4-2 矩阵与变换）已知矩阵，向量．
①求矩阵A的特征值λ₁、λ₂和特征向量、；
②求A⁵的值．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程求极坐标系中，圆ρ=2上的点到直线的距离的最小值．
（3）选修4-5；不等式选讲知x，y，z为正实数，且=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．