2012-2013学年山东省聊城三中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A{x|x＜-1或x＞1}，B={log₂x＞0}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|x＞0}
C．{x|x＜-1}
D．{x|x＜-1或x＞1}

2. 难度：中等

若i为虚数单位，则-等于（ ）
A．3-4i
B．-3+4i
C．3+4i
D．-3-4i

3. 难度：中等

设函数f（x）=x+lnx-3的零点为m，则m所在的区间是（ ）
A．（1，2）
B．（2.3）
C．（3，4）
D．（4，5）

4. 难度：中等

若向量=（3，-6），=（4，2），=（-12，-6），则下列结论中错误的是（ ）
A．⊥
B．∥
C．=-3
D．对任一向量，存在实数a，b使=a+b

5. 难度：中等

函数y=-lg|x|的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知命题p：存在x∈（-∞，0），2^x＜3^x；命题q：△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p且q
B．p或（﹁q）
C．（﹁p）且q
D．p且（﹁q）

7. 难度：中等

已知，则（ ）
A．M＜N
B．M＞N
C．M=N
D．以上都有可能

8. 难度：中等

把函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度，所得的曲线的一部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是（ ）

A．1，
B．1，-
C．2，
D．2，-

9. 难度：中等

实数x，y满足条件，目标函数z=3x+y的最小值为5，则该目标函数z=3x+y的最大值为（ ）
A．10
B．12
C．14
D．15

10. 难度：中等

在等差数列{a_n}，a₁=-2011，其前n项和为S_n，若-=1，则S₂₀₁₃=（ ）
A．-2012
B．-2013
C．2012
D．2013

11. 难度：中等

已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根在区间[0，2013]内根的个数为（ ）
A．2011
B．1006
C．2013
D．1007

12. 难度：中等

设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，设f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x-3在[a，b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ）
A．[1，4]
B．[2，3]
C．[3，4]
D．[2，4]

二、填空题

13. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是    ．

14. 难度：中等

凸函数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x₁，x₂，…，x_n，有≤f（），已知函数y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为   

15. 难度：中等

观察下列各式：a+b=1，a²+b²=3，a³+b³=4，a⁴+b⁴=7，a⁵+b⁵=11，…，则a¹⁰+b¹⁰=    ．

16. 难度：中等

对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：
①q=0时，f（x）为奇函数
②y=f（x）的图象关于（0，q）对称
③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根
④方程f（x）=0至多有两个实数根
其中正确命题的序号为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知cosα=，cos（α-β）=，且0＜β＜α＜，
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求β．

18. 难度：中等

已知命题p：在x∈[1，2]内，不等式x²+ax-2＞0恒成立；命题q：函数是区间[1，+∞）上的减函数．若命题“p∀q”是真命题，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知向量，设函数．
（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．

20. 难度：中等

某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x²．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）．
（Ⅰ）写出y与x的函数关系式；
（Ⅱ）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）；
（3）记T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，求T_n．

22. 难度：中等

设函数．
（1）若a=0，求f（x）在（0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．
（2）若f（x）在区间[1，2]上为减函数，求a的取值范围．
（3）若直线y=x为函数f（x）的图象的一条切线，求a的值．