2011-2012学年湖南省长沙市田家炳实验中学高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={x||x|＜1，x∈Z}，N={x|x²≤1}则M∩N=（ ）
A．{0，1}
B．{0}
C．{x|-1＜x＜1}
D．{-1，0，1}

2. 难度：中等

“a=-2”是“直线ax+2y=0垂直于直线x+y=1”的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要

3. 难度：中等

下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（ ）
A．y=
B．y=
C．y=xe^x
D．y=

4. 难度：中等

下列命题中，真命题的是（ ）
A．∀φ∈R，函数y=sin（2x+φ）都不是偶函数
B．∃x∈R，使得e^2x+3e^x+1=0
C．
D．“∃x∈R，使2^x＞3”的否定是“∃x∈R，使2^x≤3”

5. 难度：中等

下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．y=x+1
B．y=-x²
C．
D．y=x|x|

6. 难度：中等

已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为  （ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数y=e^sinx（-π≤x≤π）的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差，即a₂₀₁₂-5=（ ）

A．2018×2012
B．2018×2011
C．1009×2012
D．1009×2011

二、填空题

9. 难度：中等

给出命题：已知a、b为实数，若a+b=1，则的逆命题是    ．

10. 难度：中等

函数的值域为    ．

11. 难度：中等

=    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=ax+b有一个零点是2，那么函数g（x）=bx²-ax的零点是    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}中，，则a₂₀₁₂=    ．

14. 难度：中等

=    ．

15. 难度：中等

对于数列A：a₁，a₂，…，a_n，若满足a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0-1数列”．定义变换T，T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如A：1，0，1，则T（A）：0，1，1，0，0，1．设A是“0-1数列”，令A_k=T（A_k-1），k=1，2，3，…
（1）若数列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1．则数列A为    ；
（2）若A为0，1，记数列A_k中连续两项都是0的数对个数为l_k，k=1，2，3，…，则l_2n关于n的表达式．是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设有两个命题，p：关于x的不等式a^x＞1（a＞0，a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（x²-x+a）的定义域为R，如果p∨q为真命题，为p∧q假命题，求实数a的范围．

17. 难度：中等

已知函数y=x-lnx
（1）求函数的单调区间；                      
（2）求函数的最小值．

18. 难度：中等

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁（a₁∈R），且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对n∈N^*，试比较与的大小．

19. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2]时，．
（1）求m的值；
（2）设函数g（x）=log₂x，判断函数F（x）=f（x）-g（x）零点的个数，并说明理由．

20. 难度：中等

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

21. 难度：中等

设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f'（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）=h（x）（x²-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）．
（1）设函数，其中b为实数．
（i）求证：函数f（x）具有性质P（b）；
（ii）求函数f（x）的单调区间．
（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，设m为实数，a=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，且a＞1，β＞1，若|g（a）-g（β）|＜|g（x₁）-g（x₂）|，求m取值范围．