2012-2013学年福建省龙岩一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若（其中i为虚数单位，a，b∈R）则a+b=（ ）
A．一1
B．1
C．0
D．2

2. 难度：中等

命题“∃x∈R，使x²+ax-4a＜0为假命题”是“-16≤a≤0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

函数y=lg（1-x）的定义域为A，函数的值域为B，则A∩B=（ ）
A．（0，1）
B．
C．ϕ
D．R

4. 难度：中等

若{a_n}为等差数列，S_n是其前n项和，且，则tana₆的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₂-x₁|恒成立”的只有（ ）
A．
B．f（x）=|x|
C．f（x）=2
D．f（x）=x²

6. 难度：中等

如果，，那么“∥”是“k=-2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

已知平面向量、为三个单位向量，且．满足（x，y∈R），则x+y的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

8. 难度：中等

使奇函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）在[-，0]上为减函数的θ值为（ ）
A．-
B．-
C．
D．

9. 难度：中等

设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且f（1）＞-2，f（2012）=m-，则m的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪（0，3）
B．（-∞，-3）∪（0，1）
C．（-1，0）∪（3，+∞）
D．（0，+∞）

10. 难度：中等

已知函数f（x）满足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，则+++等于（ ）
A．36
B．24
C．18
D．12

二、填空题

11. 难度：中等

已知角α的终边上有一点P（t，t²+）（t＞0），则tanα的最小值为    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosB=    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知点D是BC边的中点，且，则角B=    ．

14. 难度：中等

设S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且a_n和S_n满足：，则S_n=    ．

15. 难度：中等

由9个正数组成的数阵 每行中的三个数成等差数列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列．给出下列结论：
①第二列中的a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比数列；
②第一列中的a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比数列；
③a₁₂+a₃₂≥a₂₁+a₂₃；
④若9个数之和大于81，则a₂₂＞9．
其中正确的序号有    ．（填写所有正确结论的序号）．

三、解答题

16. 难度：中等

已知等式：cos²61°+sin²31°+cos61°sin31°=acos²20°+sin²10°-cos20°sin10°=a．
（1）根据以上所给的等式写出一个具有一般性的等式，并指出实数a的值；
（2）证明你所写的等式．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2（n+1）x+n²+5n-7．
（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象的顶点的纵坐标构成数列{a_n}，求证：{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）设函数y=f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成数列{b_n}，求{b_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：
①f（x）=p•q^x；
②f（x）=px²+qx+1；
③f（x）=x（x-q）²+p．（以上三式中p、q均为常数，且q＞1）
（I）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
（Ⅱ）若f（0）=4，f（2）=6，求出所选函数f（x）的解析式（注：函数定义域是[0，5]．其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，…，以此类推）；
（Ⅲ）为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．

19. 难度：中等

定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n-m，其中n＞m．
（1）若关于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为，求实数a的值；
（2）已知，若A∩B构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围．

20. 难度：中等

已知{a_n}为递增的等比数列，且{a₁，a₃，a₅}⊂{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）是否存在等差数列{b_n}，使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立？若存在，求出b_n；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，试求a的取值范围．