2012-2013学年江苏省南京市江宁高级中学高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，复数Z=，则等于    ．

2. 难度：中等

“ac=b²”是“a、b、c成等比数列”的    条件．（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”之一）

3. 难度：中等

已知2x₁+1，2x₂+1，2x₃+1，…，2x_n+1的方差是3，则x₁，x₂，x₃，…，x_n的标准差为    ．

4. 难度：中等

从集合A={-1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={-2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为    ．

5. 难度：中等

如图程序运行结果是    ．

6. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差不为零且a₃，a₅，a₈依次成等比数列，则=    ．

7. 难度：中等

已知l₁：2x+my+1=0与l₂：y=3x-1，若两直线平行，则m的值为    ．

8. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若c=4，b=7，BC边上的中线AD的长为，则a=    ．

9. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，O为坐标原点，平面内三点A、B、C共线，且=a₁₀₀₆+a₁₀₀₇，则数列{a_n}的前2012项的和S₂₀₁₂=    ．

10. 难度：中等

一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点p为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x=6cm时，该容器的容积为    cm³．

11. 难度：中等

△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且，，则=    ．

12. 难度：中等

设点F₁，F₂分别为椭圆的左，右两焦点，直线l为右准线．若在椭圆上存在点M，使MF₁，MF₂，点M到直线l的距离d成等比数列，则此椭圆离心率e的取值范围是    ．

13. 难度：中等

设曲线y=（ax-1）e^x在点A（x，y₁）处的切线为l₁，曲线y=（1-x）e^-x在点B（x，y₂）处的切线为l₂．若存在，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

若实数a，b，c成等差数列，点P（-1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，已知点N（3，3），则线段MN长度的最大值是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC₁上，已知AB=AC，AA₁=3，BC=CF=2．
（1）求证：C₁E∥平面ADF；
（2）若点M在棱BB₁上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF？

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求sinA的值；
（2）设，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，s₄-b₄=10．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+…+a₁b_n，n∈N^*，证明：T_n+12=-2a_n+10b_n（n∈N^*）．

18. 难度：中等

已知三条直线l₁：2x-y+a=0（a＞0），l₂：-4x+2y+1=0和l₃：x+y-1=0，且l₁与l₂的距离是；
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
②点P到l₁的距离是点P到l₂的距离的；
③点P到l₁的距离与点P到l₃的距离之比是：？若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．S_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）对任意实数λ，证明：数列{a_n}不是等比数列；
（2）对于给定的实数λ，试求数列{b_n}的通项公式，并求S_n．
（3）设0＜a＜b（a，b为给定的实常数），是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．