2012-2013学年安徽省淮南二中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={x|x＜2}，集合N={x|0＜x＜1}，则下列关系中正确的是（ ）
A．M∪N=R
B．M∪C_RN=R
C．N∪C_RM=R
D．M∩N=M

2. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和，则a₃=（ ）
A．-1
B．-2
C．-4
D．-8

3. 难度：中等

sin15°+cos15°的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知变量x、y满足，则x²+y²的取值范围为（ ）
A．[13，40]
B．（-∞，13]∪[40，+∞）
C．
D．

5. 难度：中等

以抛物线的焦点为圆心，3为半径的圆与直线4x+3y+2=0相交所得的弦长为（ ）
A．
B．
C．
D．8

6. 难度：中等

已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log_a（x+b）的图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

阅读如图的算法框图，输出结果S的值为（ ）

A．
B．1
C．
D．

8. 难度：中等

设F₁，F₂是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若函数f（x）=-x+b-3有两个零点，则b的取值范围是（ ）
A．[-1-2，3]
B．（5-2，3]
C．（1-2，3）
D．（1-，3）

10. 难度：中等

对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）和g（x），如果对任意x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，那么我们称f（x）和g（x）在[a，b]上是接近的．若f（x）=log₂（cx+1）与g（x）=log₂x在闭区间[1，2]上是接近的，则c的取值范围是（ ）
A．[0，1]
B．（-1，0]
C．
D．[0，2]

二、填空题

11. 难度：中等

已知函数y=a^x-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中m，n＞0，则+的最小值为    ．

12. 难度：中等

与圆（x+3）²+y²=1及圆（x-3）²+y²=9都外切的圆的圆心轨迹方程为    ．

13. 难度：中等

    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，点M为边AB的中点，若∥，且，则=    ．

15. 难度：中等

数列{a_n}中，如果存在a_k，使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立（其中k≥2，k∈N^*），则称a_k为{a_n}的一个峰值．若a_n=tlnn-n，且{a_n}不存在峰值，则实数t的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设圆上点A（2，3）关于直线l₁：x+2y=0的对称点B仍在圆上，且该圆的圆心在直线l₂：4x+5y=9上，
（1）求B点的坐标；   
（2）求圆的方程．

17. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）求sin（C-A）的值．

18. 难度：中等

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是侧棱AA₁上的动点．
（1）当AA₁=AB=AC时，求证：A₁C⊥平面ABC₁；
（2）试求三棱锥P-BCC₁的体积V取得最大值时的t值．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）问数列{a_n}中是否存在某三项，它们可以构成一个等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的值；
（Ⅱ）若∀m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，求k的取值范围；
（Ⅲ）若a＞-1，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．

21. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），短轴一顶点与两焦点连线夹角为120°．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0），点Q（0，m）在线段AB的垂直平分线上且≤4，求m的取值范围．