2012-2013学年福建省泉州市安溪一中、养正中学联考高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=N，A={x∈N|x²-7x+10≥0}，则C_UA=（ ）
A．{2，3，4，5}
B．{3，4，5}
C．{2，3，4}
D．{3，4}

2. 难度：中等

命题“∃x∈R，使log₂x≤0成立”的否定为（ ）
A．∃x∈R，使log₂x＞0成立
B．∃x∈R，使log₂x≥0成立
C．∀x∈R，均有log₂x≥0成立
D．∀x∈R，均有log₂x＞0成立

3. 难度：中等

f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件
D．既不充分也不必要的条件

4. 难度：中等

已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β
B．α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥n
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α
D．m∥n，n⊥α⇒m⊥α

5. 难度：中等

如果实数x、y满足条件，那么2x-y的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．-2
D．-3

6. 难度：中等

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₃=+1，则a₃²+2a₂a₆+a₃a₇=（ ）
A．4
B．6
C．8
D．

7. 难度：中等

一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

平面上有一个△ABC和一点O，设，又OA、BC的中点分别为D、E，则向量等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

10. 难度：中等

在△ABC中，a=5，c=7，C=120°，则三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

函数f（x）=x³+bx²+cx+d图象如图，则函数y=x²+bx+的单调递增区间为（ ）

A．（-∞，-2]
B．[3，+∞）
C．[-2，3]
D．[，+∞）

12. 难度：中等

在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”．定义如下：对于任意两个复数z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i（a₁，b₁，a₂，b₂∈R，i为虚数单位），“z₁＞z₂”当且仅当“a₁＞a₂”或“a₁=a₂且b₁＞b₂”．下面命题为假命题的是（ ）
A．1＞i＞0
B．若z₁＞z₂，z₂＞z₃，则z₁＞z₃
C．若z₁＞z₂，则对于任意z∈C，z₁+z＞z₂+z
D．对于复数z＞0，若z₁＞z₂，则z•z₁＞z•z₂

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量与向量的夹角为60°，若向量，且，则的值为    ．

14. 难度：中等

已知等差数列{a_n}，其中，则n的值为    ．

15. 难度：中等

中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为4x+3y=0，则该双曲线的离心率为    

16. 难度：中等

若A，B，C为△ABC的三个内角，则的最小值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2cosxsinx+2cos²x-．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²．数列{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₄=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=a_bn，求数列{c_n}的前n项和T_n，并证明T_n≥1．

19. 难度：中等

如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁
（3）求三棱锥 A₁-B₁CD的体积．

20. 难度：中等

如图所示是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的小网箱．
（1）若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长x，宽y设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小；
（2）若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超过15米，则小网箱的长、宽为多少米量，可使总造价最低？

21. 难度：中等

已知抛物线方程为y²=2px（p＞0）．
（Ⅰ）若点（2，2）在抛物线上，求抛物线的焦点F的坐标和准线l的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若过焦点F且倾斜角为60°的直线m交抛物线于A、B两点，点M在抛物线的准线l上，直线MA、MF、MB的斜率分别记为k_MA、k_MF、k_MB，求证：k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．

22. 难度：中等

已知，且x∈（0，2π），记f（x）在（0，2π）内零点为x．
（1）求当f（x）取得极大值时，与的夹角θ．
（2）求f（x）＞0的解集．
（3）求当函数取得最小值时f（x）的值，并指出向量与的位置关系．