2012-2013学年内蒙古呼和浩特市政协补习学校高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（∁_UQ）=（ ）
A．{1，2，3，4，6}
B．{1，2，3，4，5}
C．{1，2，5}
D．{1，2}

2. 难度：中等

若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．-2
B．4
C．-6
D．6

3. 难度：中等

已知函数y=f（x），x∈R，数列{a_n}的通项公式是a_n=f（n），n∈N，那么函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”是“数列{a_n}是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

函数在区间[0，2π]上的零点个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

5. 难度：中等

函数的递减区间为（ ）
A．（1，+∞）
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数y=x+cosx的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，前n项和为S_n，若a₃+a₉=6，则S₁₁等于（ ）
A．12
B．33
C．66
D．11

8. 难度：中等

函数的部分图象如图所示，则=（ ）

A．4
B．6
C．1
D．2

9. 难度：中等

函数f（x）=x²-2ax+a在区间（-∞，1）上有最小值，则函数在区间（1，+∞）上一定（ ）
A．有最小值
B．有最大值
C．是减函数
D．是增函数

10. 难度：中等

若△ABC的面积为，AB=3，AC=5，且角A为钝角，边BC的中点为D，则AD长度为（ ）
A．
B．
C．
D．7

11. 难度：中等

复数z₁=sinx+i，z₂=1+i•cosx（x∈R）在坐标平面中对应的点分别是A，B，若函数f（x）=（O为坐标原点），则下列命题正确的是（ ）
A．f（x）最大值为2
B．f（x）的图象向左平移个单位后对应的函数是奇函数
C．y=|f（x）|的周期为2π
D．f（x）的图象向左平移后对应函数图象关于x=0对称

12. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且2^b＞2^a，log_sin2b＜log_sin2c，b²+c²=a²+bc，若，则cosB+sinC的取值范围是（ ）
A．（，）
B．（-，）
C．，（，）
D．（-，）

二、填空题

13. 难度：中等

设f（x）=，则∫²f（x）dx=    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和满足log₂（S_n+1）=n+1，n∈N^*，则a_n=    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a|x+1|（a＞0且a≠1）在区间（-2，-1）上恒有f（x）＞0，若f（4^a-1）＞f（1），则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
已知加密为y=a^x-2（x为明文、y为密文），如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，
再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知等差数列a_n的前n项和为S_n，且满足：a₂+a₄=14，S₇=70．
（I）求数列a_n的通项公式；
（II）设，数列b_n的最小项是第几项，并求出该项的值．

18. 难度：中等

（1）求函数f（x）=2sin（π-x）sin（-x）+2sin²x-的单调递减区间；
（2）已知tanα=，tanβ=，并且α，β∈（0，），求α+2β的值．

19. 难度：中等

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）有如下定义：
定义（1）：设f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”；
定义（2）：设x为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x+x）+f（x-x）=2f（x）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x，f（x））对称．
己知f（x）=x³-3x²+ax+2在x=-1处取得极大值．请回答下列问题：
（1）当x∈[0，4]时，求f（x）的最小值和最大值；
（2）求函数f（x）的“拐点”A的坐标，并检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称．

20. 难度：中等

在港口A处，发现北偏东45°方向，距离A处（-1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处 2 海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10 海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿多少度的方位角行驶能够最快截获走私船？

21. 难度：中等

在△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，=（a，cosB），=（b，cosA）且，，
（1）判断△ABC的形状；
（2）求sinA+sinB的取值范围；
（3）若abx=ac+bc，x∈R⁺试确定log₂x的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间并比较f（x）与f（1）的大小关系；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[f′（x）+]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（3）若n≥2，n∈N⁺，试猜想××与的大小关系，并证明你的结论．