2012-2013学年江苏省盐城市大丰市新丰中学高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

全集U={1，2，3，4}，若A={1，2}，B={1，4}，则（C_uA）∩B    ．

2. 难度：中等

设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=1，则复数z的虚部为    ．

3. 难度：中等

某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为    辆．

4. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是    ．

5. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₂=-2，a₆=-32，则a₄=    ．

6. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于    ．

7. 难度：中等

已知函数，则的值为    ．

8. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题：
①若m∥β，m∥α，α∩β=n，则m∥n；
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
③若α⊥β，m⊥β，则m∥α；
④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β．真命题的有    ．（填序号）

9. 难度：中等

由“若直角三角形两直角边的长分别为a，b，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径为”．对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球半径为R=    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+2^x，若f（x²+2）＜f（3x），则实数x的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知向量=（x-1，2），=（4，y），若⊥，则9^x+3^y的最小值为    ．

12. 难度：中等

已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），且P在线段AB上，=t（0≤t≤1）则•的最大值为     ．

13. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinB，则A角大小为    ．

14. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）=，若关于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有三个不同的实数解x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则下列结论错误的有    ．（填序号）
①x₁²+x₂²+x₃²=14；    ②a+b=2；   ③x₁+x₃＞2x₂；    ④x₁+x₃=4．

二、解答题

15. 难度：中等

设函数f（x）=cos（2x+）+sin²x．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期．
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（）=-，且C为非钝角，求sinA．

16. 难度：中等

如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，，M是线段B₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求证：D₁O⊥平面AB₁C．

17. 难度：中等

现有一批货物用轮船从上海洋山深水港运往青岛，已知该船航行的最大速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成、轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用每小时960元，
（1）把全程运输费用y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；
（2）为了使全程运输成本最低，轮船应以多大速度行驶？

18. 难度：中等

设f（x）=ax³+bx²+4x，其导函数y=f′（x）的图象经过点，（2，0），
（1）求函数f（x）的解析式和极值；
（2）对x∈[0，3]都有f（x）≥mx²恒成立，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：S₃=15，a₂+a₅=22．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}是等差数列，且，求非零常数c．
（3）若（2）中的{b_n}的前n项和为T_n，求证：．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（Ⅰ）若|f（x）|=g（x）有两个不同的解，求a的值；
（Ⅱ）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）求h（x）=|f（x）|+g（x）在[-2，2]上的最大值．