2012-2013学年浙江省宁波市慈溪中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z满足，则复数z的虚部是（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

2. 难度：中等

已知向量，满足||=||=|+|=1，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A．
B．-
C．
D．-

3. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，a₃=8，a₄=4，则前n项和S_n中最大的是（ ）
A．S₃
B．S₄或S₅
C．S₅或S₆
D．S₆

4. 难度：中等

双曲线的渐近线方程是2x±y=0，则其离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．5

5. 难度：中等

某中学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．4种
B．10种
C．18种
D．20种

6. 难度：中等

某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的体积为（ ）cm²．

A．6+3π
B．2+3π
C．6+
D．2+

7. 难度：中等

若，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

函数f（x）=lg（sin²x-cos²x）的定义城是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知x，y满足，且z=x+y能取到最小值，则实数α的取值范围是（ ）
A．α＞-1
B．α≥2
C．-1≤α≤2
D．α＜-1或α≥2

10. 难度：中等

设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x²∈S，给出如下三个命题：
①若m=1则S={1}； 
②若m=-，则≤n≤1；  
③若n=，则-≤m≤0．
其中正确的命题的个数为（ ）
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③

二、填空题

11. 难度：中等

已知a＞0，二项式展开式中常数项为1120，则此展开式中各项系数的和等于    ．

12. 难度：中等

如图所示，点P是函数y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若=0，则ω=    ．

13. 难度：中等

如图所示程序图运行的结果是    ．

14. 难度：中等

一个盒子里装有4张卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子里则装有分别标有3，4，5，6四个数的4张卡片．从两个盒子里各任取一张卡片．则取出的两张卡片上的数不同的概率为    ．

15. 难度：中等

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值为    ．

16. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n，它的通项公式为a_n=，根据上述结论，可以知道不超过实数 的最大整数为    ．

17. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC₁|=2的点P的个数为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2sinB（2cos²-1）=-cos2B．
（1）求B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

19. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有的棱长都为2，∠A₁AC=60°
（Ⅰ）求证：A₁B⊥AC；
（Ⅱ）当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积最大时，求平面A₁B₁C₁与平面ABC所成的锐角的余弦值．

20. 难度：中等

已知函数F（x）=，（x），
（I）求F（）+F（）+…+F（）的值；
（II）已知数列{an}满足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求证数列{}是等差数列；
（III）已知b_n=，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点（，），一个焦点是F（0，-）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与y轴的两个交点为A₁、A₂，点P在直线y=a²上，直线PA₁、PA₂分别与椭圆C交于M、N两点．试问：当点P在直线y=a²上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论．

四、填空题

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；
（2）若∀x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，求实数α的取值范围；
（3）若x₁＞x₂＞0，求证：．