2012-2013学年福建省福州市文博中学高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知数列的前几项为1，，，…，它的第n项（n∈N⁺）是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=3-2n，则它的公差为（ ）
A．2
B．3
C．-2
D．-3

3. 难度：中等

在△ABC中，a²=b²+c²+bc，则A=（ ）
A．60°
B．45°
C．120°
D．30°

4. 难度：中等

已知a、b、c满足a＞b＞c＞0，则下列选项成立的是（ ）
A．ab＞ac
B．ab＜ac
C．
D．a²b＜a²c

5. 难度：中等

在△ABC中，若a=4、b=6，其面积等于6，则角C为（ ）
A．45°
B．135°
C．45°或135°
D．120°

6. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₃+a₈=5，则前10项和S₁₀=（ ）
A．5
B．25
C．50
D．100

7. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=1，b=2，C=120°，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知数列{a_n}中a₁=16，a_n+1-a_n=-2（n∈N⁺），则数列{a_n}的前n项和S_n最大时，n的值为（ ）
A．8
B．7或8
C．8或9
D．9

9. 难度：中等

下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg（x²+）＞lgx（x＞0）
B．sinx+≥2（x≠kπ，k∈Z）
C．x+≥2（x∈R）
D．（x∈R）

10. 难度：中等

在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为（ ）
A．20（1+）m
B．20（1+）m
C．10（+）m
D．20（+）m

11. 难度：中等

若x，y是正数，且+=1，则xy有（ ）
A．最大值16
B．最小值
C．最小值16
D．最大值

12. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，关于数列{a_n}有下列三个命题：
①若数列{a_n}既是等差数列，又是等比数列，则a_n=a_n+1；
②若S_n=an²+bn（a，b∈R），则数列{a_n}是等差数列；
③若S_n=1-（-1）ⁿ，则数列{a_n}是等比数列．
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

13. 难度：中等

（理科）函数f（x）定义如下表，数列{x_n}满足x=5，且对任意的自然数均有x_n-1=f（x_n），则x₂₀₁₀等于（ ）

x	1	2	3	4	5
f（x）	5	1	3	4	2

A．1
B．2
C．4
D．5

二、填空题

14. 难度：中等

已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a=4，c=3，则b=    ．

15. 难度：中等

数列{a_n}的通项公式是a_n=（n∈N*），若前n项的和为，则项数为    ．

16. 难度：中等

（理科）不等式 的解集为    ．

17. 难度：中等

关于x的不等式kx²-kx+1＞0恒成立，则实数k的取值范围是    ．

18. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为    ．

19. 难度：中等

（理科）若数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n，若b_n=，记数列{b_n}的前n项和为T_n，则使T_n＞成立的最小正整数n的值为    ．

三、解答题

20. 难度：中等

已知A={x|x-2＜0}，B={x|x²-4x-5＜0}．
（1）求A∪B；
（2）若不等式ax²+bx+2＜0的解集是A∩B，求实数a，b的值．

21. 难度：中等

（文科题）
（1）在等比数列{a_n }中，a₅=162，公比q=3，前n项和S_n=242，求首项a₁和项数n的值．
（2）已知S_n是数列{a_n}的前n项和，S_n=2ⁿ，求a_n．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=3，a₅=6，数列{b_n}的前n项和是T_n，且T_n+b_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式与前n项的和M_n．（2）求数列{b_n}的通项公式．

23. 难度：中等

在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且．
（1）确定角C的大小；
（2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值．

24. 难度：中等

某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可生产产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可生产产品100千克．若每日预算总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日最多可生产多少千克产品？

25. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁₀=30，a₂₀=50．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）令b_n=2，证明：数列{b_n}为等比数列；
（3）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

26. 难度：中等

要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8m，最大装水量为72m³，池底和池壁的造价分别为2a元/m²、a元/m²，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？

27. 难度：中等

某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．
（1）若扣除投资和装修费，则从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：
①纯利润总和最大时，以10万元出售；
②该楼年平均利润最大时以46万元出售该楼，问哪种方案更优？