2011-2012学年广东省平远中学高二（下）期末数学复习试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z，映射f：z→zi，则2+3i的原象是（ ）
A．3-2i
B．2-3i
C．3+2i
D．2+3i

2. 难度：中等

已知向量，，若向量⊥，则x=（ ）
A．2
B．-2
C．8
D．-8

3. 难度：中等

某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．30种
B．35种
C．42种
D．48种

4. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和，给出以下命题：①a₆=0；②{a_n}是等差数列；③{a_n}是递增数列；④S_n有最小值-27．其中真命题的个数（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

由曲线y=x²，y=x³围成的封闭图形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）=若f（1）+f（a）=2，则a的所有可能值为（ ）
A．1
B．-
C．1，-
D．1，

7. 难度：中等

设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和抛物线y²=-8x的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点（x，y）∈D，则目标函数z=x+y的最大值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．3

8. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则的范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

规定符号“※”表示一种运算，即a※b=ab+a+b²（a，b∈R₊），若1※k=3，则k=    ．

10. 难度：中等

若回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是    ．

11. 难度：中等

（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）¹⁵的展开式中含x³项的系数是    ．（用数字作答）

12. 难度：中等

圆心在y轴上，且与直线y=x相切于点（1，1）的圆的方程为    ．

13. 难度：中等

设A={x|x²-100x-1100≤0}，B={x|lgx＞1，x∈N^*}，则A∩B的子集共有    个．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）已知PA是⊙O的切线，切点为A，直线PO交⊙O于B、C两点，AC=2，∠PAB=120°，则⊙O的面积为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量=（sin，cos），=（cos，cos），函数f（x）=•，
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）如果△ABC的三边a、b、c，满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．

17. 难度：中等

某校从参加某次“广州亚运”知识竞赛测试的学生中随机抽出60名学生，将其成绩（百分制）（均为整数）分成六段[40，50）[50，60）…[90，100）下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（Ⅲ）若从60名学生随机抽取2名，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100）记1分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧视图、俯视图．已知CF=2AD，侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示．
（Ⅰ）求该几何体的体积；
（Ⅱ）求二面角B-DE-F的余弦值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-1，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=S₃．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设，数列{c_n}的前n项和为T_n，问T_n＞的最小正整数n是多少？

20. 难度：中等

如图，在△ABC中，，以B、C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点A₁作直线l与圆E：（x-1）²+y²=2相交于M、N两点，试探究点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧吗？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．

21. 难度：中等

已知奇函数，（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）对于x∈[2，4]恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）当n≥4，且n∈N^*时，试比较a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}与2ⁿ-2的大小．