2012-2013学年湖南省长沙市田家炳实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x²＜4}，N={x|x²-2x-3＜0}，则集合M∩N等于（ ）
A．{x|x＜-2}
B．{x|x＞3}
C．{x|-1＜x＜2}
D．{x|2＜x＜3}

2. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点坐标为（ ）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．（0，2）
D．（2，0）

3. 难度：中等

定点F₁，F₂，且|F₁F₂|=8，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=8，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．圆
C．直线
D．线段

4. 难度：中等

若命题“p∧q”为假，且“￢p”为假，则（ ）
A．p或q为假
B．q假
C．q真
D．不能判断q的真假

5. 难度：中等

过点P（2，4）且与抛物线y²=8x有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．0条
B．1条
C．2  条
D．3条

6. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．“x²=1”是“x=-1”的充分不必要条件
B．“x=2”是“x²-5x+6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

7. 难度：中等

若，则线性目标函数z=x+2y的取值范围是（ ）
A．[2，5]
B．[2，6]
C．[3，5]
D．[3，6]

8. 难度：中等

已知A（2，-5，1），B（2，-2，4），C（1，-4，1），则向量与的夹角为（ ）
A．30
B．45
C．60
D．90

二、解答题

9. 难度：中等

命题“存在x∈R，x²+2x+2≤0”的否定是______．

10. 难度：中等

设x、y∈R⁺，且+=1，则x+y的最小值是______．

11. 难度：中等

下列命题中，其正确的命题为______
①的最小值是2；
②的最小值是2；
③log₂x+log_x2的最小值是2；
④的最小值是2；
⑤3^x+3^-x的最小值是2．

12. 难度：中等

已知曲线（x-a）²+（y-b）²=36的经过点A（0，-12）和原点O，则a=______，b=______．

13. 难度：中等

若直线y=kx+1和椭圆x²+4y²=1有且仅有一个公共点，则k的值为______

14. 难度：中等

平行六面体ABCD=A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AD=2，AA₁=3．∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°
求AC₁的长．

15. 难度：中等

经过点P（4，-2）的抛物线的标准方程为______．

16. 难度：中等

过点P（-4，0）的直线l与曲线C：x²+2y²=4交于A，B；求AB中点Q的轨迹方程．

17. 难度：中等

p={x|x²-4ax+3a²＜0（a＞0）}，且￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．

18. 难度：中等

某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少）？

19. 难度：中等

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-，0），且过D（2，0），设点A（1，）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程．

20. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点．
（1）求异面直线BD₁与CE所成角的余弦值；
（2）求二面角A₁-EC-A的余弦值．

21. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x²相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=-c交于P，Q，
（1）若，求c的值；
（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．