2012-2013学年浙江省舟山市岱山县大衢中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

在空间直角坐标系中点Q（1，4，2）到坐标原点的距离为（ ）
A．21
B．3
C．
D．

3. 难度：中等

方程（a-1）x-y+2a+1=0（a∈R）所表示的直线（ ）
A．恒过定点（-2，3）
B．恒过定点（2，3）
C．恒过点（-2，3）和（2，3）
D．都是平行直线

4. 难度：中等

直线过点 （-3，-2）且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（ ）
A．2x-3y=0
B．x+y+5=0
C．2x-3y=0或x+y+5=0
D．x+y+5或x-y+5=0

5. 难度：中等

（易线性表示）已知平面内不共线的四点0，A，B，C满足，则=（ ）
A．3：1
B．1：3
C．2：1
D．1：2

6. 难度：中等

已知A（-1，a）、B（a，8）两点的直线与直线2x-y+1=0平行，则a的值为（ ）
A．-10
B．17
C．5
D．2

7. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是A₁B₁的中点，则E到平面ABC₁D₁的距离为 （ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是（ ）
A．x-2y+3=0
B．x-2y-3=0
C．x+2y+1=0
D．x+2y-1=0

9. 难度：中等

已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥α，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；
④若m、n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β
其中真命题是（ ）
A．①和②
B．①和③
C．③和④
D．①和④

10. 难度：中等

已知直线l₁的方程为y=x，直线l₂的方程为ax-y=0（a为实数）．当直线l₁与直线l₂的夹角在（0，）之间变动时，a的取值范围是（ ）
A．（，1）∪（1，）
B．（，）
C．（0，1）
D．（1，）

二、填空题

11. 难度：中等

斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直线的方程为    ．

12. 难度：中等

直线ax-6y-12a=0（a≠0）在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，则a等于    ．

13. 难度：中等

原点O在直线l上的射影为点H（-2，1），则直线l的方程为    ．

14. 难度：中等

如图甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D为．垂足，则AB²=BD•BC，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，类比射影定理，探究S_△ABC、S_△BCO、S_△BCD这三者之间满足的关系是    ．

15. 难度：中等

已知点P（2，-3），Q（3，2），直线ax+y+2=0与线段PQ相交，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值为    ．

17. 难度：中等

在下列六个命题中，所有正确命题的序号是    ．
①坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率；     
②直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°]；
③若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α； 
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行；
⑤若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
⑥经过任意两个不同的点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）的直线方程是（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）．

三、解答题

18. 难度：中等

（1）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中的数据，求这个组合体的体积；
（2）已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，P为棱A₁B₁上一点，BC=10，CD=10，CC₁=4，求AP+PC₁的最小值．

19. 难度：中等

（1）若直线ax+2y+6=0和直线x+a（a+1）y+（a²-1）=0垂直，求a的值；
（2）求经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．

20. 难度：中等

如图，已知三角形的顶点为A（2，4），B（0，-2），C（-2，3），求：
（Ⅰ）AB边上的中线CM所在直线的一般方程；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

21. 难度：中等

如图，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形，
（Ⅰ）求证：MD∥平面APC；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC．

22. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD上一点，PE=2ED．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．