2012-2013学年广东省深圳市高级中学高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

曲线y=x³-2x+1在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A．y=x-1
B．y=-x+1
C．y=2x-2
D．y=-2x+2

2. 难度：中等

设圆M的方程为（x-3）²+（y-2）²=2，直线L的方程为x+y-3=0，点P的坐标为（2，1），那么（ ）
A．点P在直线L上，但不在圆M上
B．点P在圆M上，但不在直线L上
C．点P既在圆M上，又在直线L上
D．点P既不在直线L上，也不在圆M上

3. 难度：中等

如果抛物线y²=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）
B．（2，0）
C．（3，0）
D．（-1，0）

4. 难度：中等

设a∈R，则“a=1”是“直线l₁：ax+2y-1=0与直线l₂：x+（a+1）y+4=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

圆（x+2）²+y²=4与圆（x-2）²+（y-1）²=9的位置关系为（ ）
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离

6. 难度：中等

若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

观察（x²）′=2x，（x⁴）′=4x³，y=f（x），由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（-x）=（ ）
A．f（x）
B．-f（x）
C．g（x）
D．-g（x）

8. 难度：中等

设抛物线y²=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（ ）
A．
B．8
C．
D．16

9. 难度：中等

设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知F₁、F₂为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF₁|=2|PF₂|，则cos∠F₁PF₂=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知命题p：∀x₁，x₂∈R，（f（x₂）-f（x₁））（x₂-x₁）≥0，则￢p是    ．

12. 难度：中等

若点p（m，3）到直线4x-3y+1=0的距离为4，且点p在不等式2x+y＜3表示的平面区域内，则m=    ．

13. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线y²=16x的焦点相同．则双曲线的方程为    ．

14. 难度：中等

若函数f（x）=ax⁴+bx²+c满足f′（1）=2，则f′（-1）=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知p：|x-4|≤6，q：x²-2x+1-m²≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

16. 难度：中等

过双曲线的右焦点F，倾斜角为30°的直线交此双曲线于A，B两点，求|AB|．

17. 难度：中等

设函数f（x）=6x³+3（a+2）x²+2ax．
（1）若f（x）的两个极值点为x₁，x₂，且x₁x₂=1，求实数a的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）是（-∞，+∞）上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

18. 难度：中等

椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求∠F₁AF₂的角平分线所在直线的方程．

19. 难度：中等

已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（I）求实数b的值；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线的距离为．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分于点Q（φ（m），ϕ（m））（即点Q的坐标是实数m的表达式）．
（1）求p，t的值；
（2）用m表示△ABP 的面积S；
（3）求△ABP面积S的最大值．