2012-2013学年浙江省衢州一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线l：x+y-3=0的倾斜角α为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx-ysinB+sinC=0的位置关系是（ ）
A．垂直
B．平行
C．重合
D．相交但不垂直

3. 难度：中等

双曲线mx²+y²=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ）
A．
B．-4
C．4
D．

4. 难度：中等

椭圆 +=1的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围（ ）
A．（0，）
B．[，1）
C．（0，]
D．[，1）

5. 难度：中等

已知定点A（3，4），点P为抛物线y²=4x上一动点，点P到直线x=-1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．

6. 难度：中等

过原点O作⊙C：（x-3）²+（y-2）²=4的两条割线分别与圆交于A、B和M、N两点，则•+•=（ ）
A．4
B．18
C．9
D．8

7. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆方程（ ）
A．+=1
B．=1
C．=1
D．=1

8. 难度：中等

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，且2a²=3c，若双曲线C上的点P满足=1，则|||=（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

9. 难度：中等

设F₁、F₂分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F₂交椭圆于E，且E是直线EF₁与⊙F₂的切点，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

二、填空题

11. 难度：中等

已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x-1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为    ．

12. 难度：中等

曲线C：（5-m）x²+（m-2）y²=8（m∈R）表示焦点在x轴上的椭圆，则m取值范围    ．

13. 难度：中等

已知双曲线-=1（b＞0）的离心率为2，则它的一焦点到其中一条渐近线的距离为    ．

14. 难度：中等

抛物线y²=4x焦点F，则经过点F，M（4，4）且与抛物线的准线相切的圆的个数为    ．

15. 难度：中等

已知F₁为椭圆的左焦点，直线l：y=x-1与椭圆C交于A、B两点，那么|F₁A|+|F₁B|的值为    ．

16. 难度：中等

设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为（2，2），则直线ι的方程为    ．

17. 难度：中等

x²+y²+2ax+a⁴-4和x²+y²-4by-1+4b²=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

过A（-4，0），B（0，-3）两点作两条平行线．
（1）如果两条平行线之间的距离为4，求它们的方程．
（2）当两条平行线之间的距离取最大值时，求它们的方程．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

20. 难度：中等

设抛物线过定点A（2，0），且以直线x=-2为准线．
（1）求抛物线顶点的轨迹C的方程；
（2）已知点B（0，-5），轨迹C上是否存在满足•=0的M、N两点？证明你的结论．

21. 难度：中等

设F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，过F且与抛物线C对称轴垂直的直线被抛物线C截得线段长为4．
（1）求抛物线C方程．
（2）设A、B为抛物线C上异于原点的两点且满足FA⊥FB，延长AF、BF分别抛物线C于点C、D．求：四边形ABCD面积的最小值．

22. 难度：中等

设椭圆的两个焦点是F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）．
（1）设E是直线y=x+2与椭圆的一个公共点，求使得|EF₁|+|EF₂|取最小值时椭圆的方程；
（2）已知N（0，-1）设斜率为k（k≠0）的直线l与条件（1）下的椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足，且，求直线l在y轴上截距的取值范围．