2012-2013学年浙江省衢州市龙游中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

空间直角坐标系oxyz中点（2，-3，5）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（-2，-3，-5）
B．（2，3，5）
C．（-2，3，-5）
D．（-2，3，5）

2. 难度：中等

一条直线经过点A（2，-3），并且它的斜率等于直线x-2y=0的斜率的2倍，则这条直线的方程是（ ）
A．x-y+5=0
B．x-y+1=0
C．x-y-5=0
D．x-y-1=0

3. 难度：中等

命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是（ ）
A．若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数
B．若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数
C．若a+b是偶数，则a，b都是奇数
D．若a+b是偶数，则a，b不都是奇数

4. 难度：中等

a=3是直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7平行的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件

5. 难度：中等

圆C₁：x²+y²+2x+8y-8=0与圆C₂：x²+y²-4x+4y-2=0的位置关系是（ ）
A．相离
B．外切
C．内切
D．相交

6. 难度：中等

已知点M（a，b）（ab≠0）是圆C：x²+y²=r²内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程是ax+by=r²，那么（ ）
A．l∥m且m与圆c相切
B．l⊥m且m与圆c相切
C．l∥m且m与圆c相离
D．l⊥m且m与圆c相离

7. 难度：中等

已知圆x²+y²=4，直线l：y=x+b，圆上恰好有4个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

方程mx+ny²=0与mx²+ny²=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，若P为其上一点，且|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．（1，3）
B．（1，3]
C．（3，+∞）
D．[3，+∞]

10. 难度：中等

设直线l：2x+y+2=0关于原点对称的直线为l'，若l′与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

过点P（2，1）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为    ．

12. 难度：中等

直线截圆x²+y²=4得劣弧所对的圆心角为    ．

13. 难度：中等

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆上一点M到两焦点的距离分别为3和9，且经过M作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则该椭圆的标准方程为    ．

14. 难度：中等

圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于A、B，|AB|=，则该圆的标准方程是    ．

15. 难度：中等

抛物线y²=4x上的点P到抛物线的准线距离为d₁，到直线3x-4y+9=0的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值是    ．

16. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是    ．

17. 难度：中等

若点P在曲线C₁：y²=8x上，点Q在曲线C：（x-2）²+y²=1上，点O为坐标原点，则的最大值是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0．AC边上的高BH所在直线为x-2y-5=0．求：
（1）顶点C的坐标；
（2）直线BC的方程．

19. 难度：中等

设抛物线的方程为y²=8x，O为坐标原点，点A，B是抛物线上的点．如果OA⊥OB，求证：直线AB必过定点，并求出定点坐标．

20. 难度：中等

已知定点Q（0，5）和圆C：（x+2）²+（y-6）²=4²．
（1）若直线l过Q点且被圆C截得的线段长为，求直线l的方程；
（2）求过Q点的圆C的弦的中点P的轨迹方程，并指出其轨迹是什么？

21. 难度：中等

已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．

22. 难度：中等

已知点P是圆x²+y²=1上任意一点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，点R满足，记点R的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设A（0，1），点M、N在曲线C上，且直线AM与直线AN的斜率之积为，求△AMN的面积的最大值．