2012-2013学年江西省赣州市上犹三中高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“mn＜0”是“方程mx²+ny²=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

在下列电路图中，表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

命题“对任意的x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，x³-x²+1≤0
B．存在x∈R，x³-x²+1≤0
C．存在x∈R，x³-x²+1＞0
D．对任意的x∈R，x³-x²+1＞0

4. 难度：中等

下列四个结论：
①若P：2是偶数，q：3不是质数，那么p∧q是真命题；
②若P：π是无理数，q：π是有理数，那么p∨q是真命题；
③若P：2＞3，q：8+7=15，那么p∨q是真命题；
④若P：每个二次函数的图象都与x轴相交，那么￢P是真命题；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

双曲线的焦距为（ ）
A．3
B．4
C．3
D．4

6. 难度：中等

经过抛物线y=2x²的焦点，且倾斜角为135°的直线方程为（ ）
A．2x+2y-1=0
B．4x+4y-1=0
C．8x+8y-1=0
D．16x+16y-1=0

7. 难度：中等

若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x∈（a，b）则的值为（ ）
A．f′（x）
B．2f′（x）
C．-2f′（x）
D．0

8. 难度：中等

双曲线的渐近线方程是（ ）
A．y=
B．y=
C．y=
D．y=

9. 难度：中等

已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．无法确定

10. 难度：中等

设椭圆的两个焦点分别为F₁、、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

曲线y=x³在点（1，1）切线方程为     ．

12. 难度：中等

若曲线表示椭圆，则k的取值范围是    ．

13. 难度：中等

若直线x-y=2与抛物线y²=4x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是    ．

14. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积为    ．

15. 难度：中等

在下列四个结论中，正确的有    ．（填序号）
①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件
②“”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集为R”的充要条件
③“x≠1”是“x²≠1”的充分不必要条件
④“x≠0”是“x+|x|＞0”的必要不充分条件

三、解答题

16. 难度：中等

求下列各曲线的标准方程
（1）实轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；
（2）焦点是双曲线16x²-9y²=144的左顶点的抛物线．

17. 难度：中等

已知c＞0，设P：函数y=c^x在R上单调递减，Q：不等式x+|x-2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．

18. 难度：中等

给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知点P（3，4）是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点，F₁、F₂是椭圆的两焦点，若PF₁⊥PF₂，试求：
（1）椭圆方程；
（2）△PF₁F₂的面积．

20. 难度：中等

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．
（Ⅰ） 若，求直线l的方程．
（Ⅱ） 求|AB|的最小值．

21. 难度：中等

设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量，向量，，动点M（x，y）的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（Ⅱ）已知m=，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求出该圆的方程．