2012-2013学年四川省成都市望子成龙学校高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则sinB=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

若A（x，5+x，2x-1），B（1，x+2，x），当|AB|取最小值时，x的值为（ ）
A．6
B．3
C．2
D．1

3. 难度：中等

在空间，下列命题中正确的是（ ）
A．对边相等的四边形一定是平面图形
B．有一组对边平行的四边形一定是平面图形
C．四边相等的四边形一定是平面图形
D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形

4. 难度：中等

已知点A（1，-1）及圆 x²+y²-4x+4y+4=0，则过点A，且在圆上截得的弦为最长的弦所在的直线方程是（ ）
A．x-1=0
B．x+y=0
C．y+1=0
D．x-y-2=0

5. 难度：中等

函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设a₁，a₂，a₃，a₄成等比数列，其公比为2，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1

7. 难度：中等

设A是△ABC的最小角，且，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥3
B．m＞-1
C．-1＜m≤3
D．m＞0

8. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别为AA₁、AB、BB₁、BC₁的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）

A．45°
B．60°
C．90°
D．120°

9. 难度：中等

长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）
A．20π
B．25π
C．50π
D．200π

10. 难度：中等

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB₁D₁
B．AC₁⊥BD
C．AC₁⊥平面CB₁D₁
D．异面直线AD与CB₁所成的角为60°

11. 难度：中等

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都相等，且CC₁⊥底面ABC，M是侧棱CC₁的中点，则异面直线AB₁和BM所成的角的大小是（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知各项均不为零的数列{a_n}，定义向量=（a_n，a_n+1），=（n，n+1），n∈N⁺．下列命题中为真命题的是（ ）
A．若任意n∈N⁺总有∥成立，则数列{a_n}是等差数列
B．若任意n∈N⁺总有∥成立，则数列{a_n}是等比数列
C．若任意n∈N⁺总有⊥成立，则数列{a_n}是等差数列
D．若任意n∈N⁺总有_n⊥成立，则数列{a_n}是等比数列

二、填空题

13. 难度：中等

若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是    cm³．

14. 难度：中等

已知直线l₁：（k-3）x+（4-k）y+1=0，与l₂：2（k-3）x-2y+3=0，平行，则k的值是    ．

15. 难度：中等

（理科）已知三棱锥O-ABC中，=，=，=，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则=    （结果用，，表示）

16. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₄-a₂=8，a₃+a₅=26．记T_n=，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，T_n≤M都成立，则M的最小值是    ．

17. 难度：中等

已知向量，，对任意t∈R，恒有．现给出下列四个结论：
①；②；③，④
则正确的结论序号为     ．（写出你认为所有正确的结论序号）

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的三边，a²-（b-c）²=bc，
（ I）求角A；
（ II）若，求b的值．

19. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为棱DD₁的中点．
（Ⅰ）判断BD₁和过A，C，E三点的平面的位置关系，并证明你的结论；
（II）求△ACE的面积．

20. 难度：中等

设数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，b₁+b₂=a₂，b₃是a₁与a₄的等差中项．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）求数列{}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅱ）设M是线段BD上的一个动点，问当的值为多少时，可使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

22. 难度：中等

解关于x的不等式＞x（a∈R）．

23. 难度：中等

如图所示，矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据：
①；②a=1；③；建立适当的空间直角坐标系，
（ I）当BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可能取所给数据中的哪些值？请说明理由；
（ II）在满足（ I）的条件下，若a取所给数据的最小值时，这样的点Q有几个？若沿BC方向依次记为Q₁，Q₂，…，试求二面角Q₁-PA-Q₂的大小．