2012-2013学年浙江省台州外国语学校高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

2. 难度：中等

已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则（ ）
A．n⊥β
B．n∥β，或n⊂β
C．n⊥α
D．n∥α，或n⊂α

3. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A．
B．
C．8-2π
D．

5. 难度：中等

已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（ ）
A．2
B．
C．
D．1

6. 难度：中等

两两相交的三条直线可以确定的平面的个数为（ ）
A．1
B．3
C．1或2
D．1或3

7. 难度：中等

若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（ ）
A．α内存在直线与l异面
B．α内存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交

8. 难度：中等

设直线l与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A．在平面α内有且只有一条直线与直线l平行
B．过直线l有且只有一个平面与平面α平行
C．与直线l平行的直线可能与平面α垂直
D．与直线l垂直的平面不可能与平面α平行

9. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁，底面三角形A₁B₁C₁是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（ ）
A．CC₁与B₁E是异面直线
B．AC⊥平面ABB₁A₁
C．AE，B₁C₁为异面直线，且AE⊥B₁C₁
D．A₁C₁∥平面AB₁E

10. 难度：中等

一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是（ ）
A．4
B．
C．2
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为    ．

12. 难度：中等

若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积是    ．

13. 难度：中等

设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为    ．

14. 难度：中等

在三棱锥S-ABC中SA=SC=AB=BC，则直线SB与AC所成角的大小为    ．

15. 难度：中等

某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是    ．

16. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为C₁D₁的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．
（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D-ABC的表面积．

18. 难度：中等

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，高AA₁=2，求：
（1）异面直线BD与AB₁所成的角的大小的余弦值
（2）四面体AB₁D₁C的体积．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，延长A₁C₁至点P，使C₁P=A₁C₁，连接AP交棱CC₁于点D．
（Ⅰ）求证：PB₁∥平面BDA₁；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值．

20. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，
CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．