2012-2013学年安徽省池州一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列叙述中，正确的是（ ）
A．因为P∈α，Q∈α，所以PQ∈α
B．因为P∈α，Q∈β，所以α∩β=PQ
C．因为AB⊂α，C∈AB，D∈AB，所以CD∈α
D．因为AB⊂α，AB⊂β，所以A∈（α∩β）且B∈（α∩β）

2. 难度：中等

已知直线l的方程为y=x+1，则该直线l的倾斜角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．135°

3. 难度：中等

若直线l₁：y=k（x-4）与直线l₂关于点（2，1）对称，则直线l₂恒过定点（ ）
A．（0，4）
B．（0，2）
C．（-2，4）
D．（4，-2）

4. 难度：中等

长方体的三个面的面积分别是，则长方体的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．6

5. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点，则BD₁与过ACE的平面的位置关系是（ ）
A．相交
B．平行
C．垂直
D．线在面内

6. 难度：中等

若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线（ ）
A．只有一条
B．无数条
C．是平面α内的所有直线
D．不存在

7. 难度：中等

已知直线l、m、n与平面α、β，给出下列四个命题：
①若m∥l，n∥l，则m∥n           ②若m⊥α，m∥β，则α⊥β
③若m∥α，n∥α，则m∥n          ④若m⊥β，α⊥β，则m∥α 或m⊊α
其中假命题是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④

8. 难度：中等

在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A．
B．
C．π
D．

10. 难度：中等

已知点 A（2，-3），B（-3，-2），直线l过点（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率的范围是（ ）
A．k≥k≤-4
B．-4≤k≤
C．k＜
D．≤k≤4

二、填空题

11. 难度：中等

异面直线a，b所成的角为60°，过空间点P作线c与它们都成60°，则线c的条数为    ．

12. 难度：中等

如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1-2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是    ．

13. 难度：中等

空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是     ．

14. 难度：中等

如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=    ．

15. 难度：中等

如图所示，平面M、N互相垂直，棱a上有两点A、B，AC⊂M，BD⊂N，且AC⊥a，BD⊥a，AB=12cm，AC=3cm，BD=4cm，则CD=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

过点P（2，1）作直线l分别交x轴y轴的正半轴于A、B两点，求|PA|•|PB|的值最小时直线l的方程．

17. 难度：中等

已知直线L：y=3x+3，试求：
（1）点P（4，5）关于直线L的对称点的坐标；
（2）直线y=x-2关于直线L对称的直线方程；
（3）直线L关于点A（3，2）对称的直线方程．

18. 难度：中等

如图所示：一块矩形的太阳能吸光板安装在三棱锥形状的支撑架上，矩形EFGH的四个顶点分别在边AB、BC、CD、AD上，已知AC=a，BD=b，问E、F、G、H在什么位置时吸光板的吸光量最大？

19. 难度：中等

如图，是一个奖杯的三视图（单位：cm），底座是正四棱台．  
（Ⅰ）求这个奖杯的体积（π取3.14）；
（Ⅱ）求这个奖杯底座的侧面积．

20. 难度：中等

如图，棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₁B₁B是菱形，四边形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，CB=1，AB=2，∠A₁AB=60°．
（1）求证：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁；
（2）求B₁C₁到平面A₁CB的距离；
（3）求直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正切值．

21. 难度：中等

如图，在棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且∠ADC=60°，M为PB的中点，
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求二面角P-AB-D的大小；
（3）求证：平面CDM⊥平面PAB．