2012-2013学年安徽省巢湖市无为中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

A．-3
B．-2
C．5
D．8

2. 难度：中等

一个空间几何体的三视图均为边长是的正方形，则该空间几何体外接球体积为（ ）
A．
B．9π
C．
D．

3. 难度：中等

若直线（2m²+m-3）x+（m²-m）y=4m-1在x轴上的截距为1，则实数m是（ ）
A．1
B．2
C．-
D．2或-

4. 难度：中等

平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A．α内有无穷多条直线都与β平行
B．α内的任何直线都与β平行
C．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥a
D．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内

5. 难度：中等

已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β=c，那么直线c一定（ ）
A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行

6. 难度：中等

正方体ABCD-A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（ ）
A．0°
B．45°
C．60°
D．90°

7. 难度：中等

如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（ ）
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

8. 难度：中等

若直线通过点P（1，1），（a＞0，b＞0），则（ ）
A．a+b≤4
B．a+b≥4
C．ab＜4
D．ab＞4

9. 难度：中等

设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题的是（ ）
①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面．
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④

10. 难度：中等

设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．（0，）
C．（1，）
D．（1，）

二、填空题

11. 难度：中等

3进制数11111_（3）=    （十进制）．

12. 难度：中等

已知△ABC的斜二测直观图是边长为2的等边△A₁B₁C₁，那么原△ABC的面积为    ．

13. 难度：中等

设坐标原点O为△ABC的重心，已知A（5，-2）、B（7，4），则AB边上的中线所在直线方程为    ．

14. 难度：中等

给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；
②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
④若l⊂α，m⊂α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β．
其中为真命题的是    ．

15. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长AB=2，BC=3，BC⊥面ABC₁，CC₁与面ABC所成的角为60°则斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积的最小值是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知直线l₁经过点A（2，a），B（a-1，3），直线l₂经过点C（1，2），D（-3，a+2）．
（1）若l₁∥l₂，求a的值；
（2）若l₁⊥l₂，求a的值．

17. 难度：中等

若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，
（1）求该几何体体积；
（2）求该几何体表面积．

18. 难度：中等

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F分别是线段PA、CD的中点．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求A点到平面BEF的距离．

19. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BC=1，∠BCC₁=，BB₁=2．
（1）求证：平面AC₁B⊥平面ABC；
（2）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁．

20. 难度：中等

已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的正切值．

21. 难度：中等

如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°
（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．
（Ⅱ）若二面角C-AB-D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．