2012-2013学年江苏省苏州市吴中区木渎高级中学天华学校高三（上）数学试卷1（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合A={x|1＜x＜4}，B={x|x²-2x-3≤0}，则A∩（C_RB）=    ．

2. 难度：中等

若f（x）=，则f（x）的定义域为    ．

3. 难度：中等

已知集合A={x|log₂x≤2}，B=（-∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=    ．

4. 难度：中等

已知命题p：∀x₁，x₂∈R，（f（x₂）-f（x₁））（x₂-x₁）≥0，则￢p是    ．

5. 难度：中等

已知函数y=的最大值为M，最小值为m，则的值为    ．

6. 难度：中等

若函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a=    ．

7. 难度：中等

当时，4^x＜log_ax，则a的取值范围    ．

8. 难度：中等

设n∈N₊，一元二次方程x²-4x+n=0有整数根的充要条件是n=    ．

9. 难度：中等

若函数若f（a）＞f（-a），则实数a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知关于x的方程x²-kx+k+3=0（k为实数）有两个正根，那么这两个根的倒数和的最小值是    ．

11. 难度：中等

经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E=kv³t，其中v为鲑鱼在静水中的速度，t为行进的时间（单位：h），k为大于零的常数．如果水流的速度为3km/h，鲑鱼在河中逆流行进100km．则当鲑鱼消耗的能量最少时，v=    ．

12. 难度：中等

设a＞0，b＞0，给出下列命题：
①若2^a+2a=2^b+3b，则a＞b；        ②若2^a+2a=2^b+3b，则a＜b；
③若2^a-2a=2^b-3b，则a＞b；        ④若2^a-2a=2^b-3b，则a＜b；
其中真命题是    ．（填序号）

13. 难度：中等

设函数f（x）=x-，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知集合．
（1）求集合A；
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=a•2^x+b•3^x，其中常数a，b 满足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判断函数f（x） 的单调性；
（2）若a•b＜0，求f（x+1）＞f（x） 时的x 的取值范围．

17. 难度：中等

海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：
①失事船的移动路径可视为抛物线；
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为，右准线为l：x=4．M为椭圆上不同于A，B的一点，直线AM与直线l交于点P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，判断点B是否在以PM为直径的圆上，并说明理由；
（3）连接PB并延长交椭圆C于点N，若直线MN垂直于x轴，求点M的坐标．

19. 难度：中等

已知函数f（x）满足f（log_ax）=（x-x^-1），其中a＞0，a≠1
（1）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的集合；
（2）当x∈（-∞，2）时，f（x-4）的值恒为负数，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）．
（1）若函数g（x）=x，f（x）在区间（-∞，）内单调递减，求a的取值范围；
（2）当a=-1时，证明方程f（x）=2x³-1仅有一个实数根．
（3）当x∈[0，1]时，试讨论|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要条件．

21. 难度：中等

设a＞0，b＞0，若矩阵A=把圆C：x²+y²=1变换为椭圆E：=1．
（1）求a，b的值；
（2）求矩阵A的逆矩阵A^-1．

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ=4cosθ被直线l：ρsin（θ-）=a截得的弦长为2，求实数a的值．

23. 难度：中等

如图，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=3，E是PB的中点．
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

24. 难度：中等

在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X为摸出的3个球上的数字和．
（1）求概率P（X≥7）；
（2）求X的概率分布列，并求其数学期望E（X）．