2012-2013学年四川省成都市六校高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是（ ）
A．圆柱
B．三棱柱
C．圆锥
D．球体

2. 难度：中等

如图中斜二测直观图所示的平面图形是（ ）

A．直角梯形
B．等腰梯形
C．不可能是梯形
D．平行四边形

3. 难度：中等

已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b的位置关系是（ ）
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线

4. 难度：中等

已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外一点O，给出下列命题：
①；       ②；
③；          ④．
其中，能推出M，A，B，C四点共面的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②④
D．①④

5. 难度：中等

一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（ ）
A．8πcm²
B．12πcm²
C．16πcm²
D．20πcm²

6. 难度：中等

下面推理错误的是（ ）
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B．M∈α，M∈β，N∈a，N∈β⇒α∩β=直线MN
C．l⊊α，A∈l⇒A⊈α
D．A，B，C∈α，A、B、C∈β且A、B、C不共线⇒α、β重合

7. 难度：中等

空间四边形的四条边长度相等，则顺次连接这个四边形各边中点所得的图形是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．等腰梯形

8. 难度：中等

若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则有（ ）
A．b∥α
B．b⊂α
C．b⊥α
D．b∥α或b⊂α

9. 难度：中等

某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）

A．28+6
B．30+6
C．56+12
D．60+12

10. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁BC₁D₁中，点P在线段AD₁上运动，则异面直线CP与BA₁所成的角θ的取值范围是（）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设α、β、γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题，其中正确命题的个数是（ ）
①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；
②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；
③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

12. 难度：中等

有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．（1，）
C．（，）
D．（0，）

二、填空题

13. 难度：中等

用符号语言表示语句：直线a经过平面α外一点M    ．

14. 难度：中等

若=（2x，1，3），=（1，3，9）共线，则x=    ．

15. 难度：中等

若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成的角为    ．

16. 难度：中等

已知平面α、β、γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m．由上述条件可推出的结论有   
①m⊥β     ②l⊥α      ③β⊥γ     ④α⊥β

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=2，AB=6，E、F分别为A₁D₁、D₁C₁的中点．分别以DA、DC、DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
①求点E、F的坐标；
②求证：EF∥ACD₁．

18. 难度：中等

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示．墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH．图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．

（1）请画出该安全标识墩的侧视图；
（2）求该安全标识墩的体积．

19. 难度：中等

如图，ABCD是矩形，过点D作PD⊥平面ABCD，连接PA、PB、PC，E是PC上的一点，且DE⊥PC，过E作EF⊥PB于F．
①求证DE⊥BC；
②求证：平面PBD⊥平面EFD．

20. 难度：中等

如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁（底面是平行四边形的四棱柱）
①求证：平面AB₁D₁∥平面BDC₁；
②若平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱长相等且AB⊥平面BCC₁B₁，E为CD的中点，AC₁∩BD₁=0，求证：OE⊥平面ABC₁D₁．

21. 难度：中等

如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=AA₁=2，点O是线段BC₁的中点，点M是OD的中点，点E是线段AB上一点，AE＞BE，且A₁E⊥OE．
①求AE的长；
②求二面角A₁-DE-C的正切值；
③求三棱锥M-A₁OE的体积．

22. 难度：中等

（理）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如图（2）．
①求直线A₁E与平面CBED所成角的正弦值；
②求平面A₁CD与平面A₁BE所成锐角的余弦值；
③在线段BC上是否存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE垂直？若存在，求出CP的值；若不存在，请说明理由．