2012-2013学年福建省三明一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

双曲线2x²-y²=8的实轴长是（ ）
A．2
B．
C．4
D．

2. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²-2x+1≥0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x²-2x+1≤0
B．∃X∈R，x²-2x+1≥0
C．∃x∈R，x²-2x+1＜0
D．∀x∈R，x²-2x+1＜0

3. 难度：中等

某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取多少（ ）
A．8，5，17
B．16，2，2
C．16，3，1
D．12，3，5

4. 难度：中等

已知p：2+2=5，q：3＞2，则下列判断中，错误的是（ ）
A．p或q为真，非q为假
B．p且q为假，非p为真
C．p且q为假，非p为假
D．p且q为假，p或q为真

5. 难度：中等

设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x-2|＜3，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

6. 难度：中等

直线y=x+1被椭圆x²+2y²=4所截得的弦的中点坐标是（ ）
A．（）
B．（-，）
C．（，-）
D．（-，）

7. 难度：中等

若向量=（1，λ，2），=（2，-1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（ ）
A．2
B．-2
C．-2或
D．2或-

8. 难度：中等

在△ABC中，AB=2，AC=3，•=1，则BC=（ ）
A．
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

设F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F₂PF₁是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．2

二、填空题

11. 难度：中等

命题“若x²-3x+2≠0，则x≠2”的逆否命题为    ．

12. 难度：中等

已知，且，则x=    ．

13. 难度：中等

阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于    ．

14. 难度：中等

方程x²sinα+y²cosα=1表示焦点在y轴上的双曲线，则角α在第    象限．

15. 难度：中等

如图，直角坐标系x'oy所在的平面为β，直角坐标系xoy所在的平面为α，且二面角α-y轴-β的大小等于30°．已知β内的曲线C'的方程是，则曲线C'在α内的射影的曲线方程是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=5，AD=3，AA₁=4，∠DAB=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，E是CC₁的中点，设．
（1）用表示；
（2）求AE的长？

17. 难度：中等

已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x²+（y+3）²=1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

18. 难度：中等

已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y²=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．

19. 难度：中等

某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．
（1）求中三等奖的概率；
（2）求中奖的概率．

20. 难度：中等

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-CD-B余弦值的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．

21. 难度：中等

如图，椭圆E：的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=．过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．