2012-2013学年广东省汕头市濠江区金山中学高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线的斜率为-1，其倾斜角的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．90°
D．135°

2. 难度：中等

等比数列{a_n}中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a_n为（ ）
A．4^n-1
B．4ⁿ
C．3ⁿ
D．3^n-1

3. 难度：中等

设函数，则f（x）（ ）
A．有最大值
B．有最小值
C．是增函数
D．是减函数

4. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）

A．12π
B．45π
C．57π
D．81π

5. 难度：中等

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB₁D₁
B．AC₁⊥BD
C．AC₁⊥平面CB₁D₁
D．异面直线AD与CB₁所成的角为60°

6. 难度：中等

已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α⇒n⊥α
②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
③m∥n，m∥α⇒n∥α
④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③

7. 难度：中等

已知函数是奇函数，则=（ ）
A．
B．
C．2
D．-2

8. 难度：中等

若向量，，若，则向量与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC成直二面角（平面ABC⊥平面ADC），则∠BCD的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

10. 难度：中等

若关于x的不等式2x²-8x-4-a＞0在1＜x＜4内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜-4
B．a＞-4
C．a＞-12
D．a＜-12

二、填空题

11. 难度：中等

已知全集U=R，集合A为函数f（x）=ln（x-1）的定义域，则 C_UA=    ．

12. 难度：中等

已知△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角A等于    ．

13. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内有一个球与正方体的各个面都相切，经过DD₁和BB₁作一个截面，正确的截面图是    ．

14. 难度：中等

关于函数f（x）=4sin（2x+）（x∈R）有下列命题，
①y=f（x）图象关于直线x=-对称 
②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-）
③y=f（x）的图象关于点（-，0）对称 
 ④由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍．
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知直线l₁经过点A（2，a），B（a-1，3），直线l₂经过点C（1，2），D（-3，a+2）．
（1）若l₁∥l₂，求a的值；
（2）若l₁⊥l₂，求a的值．

16. 难度：中等

如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是正三角形，AB=AD=1，∠BAD=θ．
（Ⅰ）将四边形ABCD的面积S表示成关于θ的函数；
（Ⅱ）求S的最大值及此时θ的值．

17. 难度：中等

已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y）
（1）当x，y∈Z时，求P的坐标满足x+y≥1的概率．
（2）当x，y∈R时，求P的坐标满足x+y≥1的概率．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3…），等差数列{b_n}中，b₁=1，b₃=5．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（2）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=2．
（1）求证：AD⊥平面PQB；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积
（3）在线段PC上是否存在点M，使PA∥平面MQB；若存在，求出PM：PC的值．

20. 难度：中等

已知数列a_n是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，n∈N^*．数列b_n满足，T_n为数列b_n的前n项和．
（1）求a₁、d和T_n；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．