2012-2013学年河南省安阳一中高一（上）第二次段考数学试卷（奥赛班）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合M={y|y=2^x}，N={x|y=}，则M∩N=（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|x≥1}
C．{x|x＞0}
D．{x|x≥0}

2. 难度：中等

例1、已知函数的定义域为A，函数y=f[f（x）]的定义域为B，则（ ）
A．A∪B=B
B．A不属于B
C．A=B
D．A∩B=B

3. 难度：中等

长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A．25π
B．50π
C．125π
D．都不对

4. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别为AA₁、AB、BB₁、BC₁的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）

A．45°
B．60°
C．90°
D．120°

5. 难度：中等

下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若两直线l₁，l₂的倾斜角分别为α₁，α₂，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若α₁＜α₂，则两直线斜率k₁＜k₂
B．若α₁=α₂，则两直线斜率k₁=k₂
C．若两直线斜率k₁＜k₂，则α₁＜α₂
D．若两直线斜率k₁=k₂，则α₁=α₂

7. 难度：中等

设函数若f（x）＞1，则x的取值范围是（ ）
A．（-1，1）
B．（-1，+∞）
C．（-∞，-2）∪（0，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

8. 难度：中等

已知0＜a＜1，f（x）=a^|x|-|log_ax|的实根个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．1个或2个或3个

9. 难度：中等

过点M（-2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（ ）
A．1
B．4
C．1或3
D．1或4

10. 难度：中等

方程lgx=3-x的解所在区间为（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

11. 难度：中等

若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则m的取值是（ ）
A．m=-2
B．B．m=-1
C．m=-2或m=-1
D．D．-3≤m≤-1

12. 难度：中等

设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，l⊂α，则l∥β；
④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．
其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

13. 难度：中等

如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有    个直角三角形．

14. 难度：中等

如图，一个盛满水的三棱锥容器，三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且知道SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的    ．

15. 难度：中等

方程4^x-3•2^x+1+8=0的解集为    ．

16. 难度：中等

若方程|x|•（x-4）=m有3个解，则m的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图所示的一个三视图中，右面是一个长方体截去一角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积．

18. 难度：中等

如图：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱DD₁的中点
（1）求证：BD₁∥平面AEC
（2）求证：AC⊥BD₁．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB．
（1）若AB=AD=a，直线PB与CD所成角为45°，
①求四棱锥P-ABCD的体积；
②求二面角P-CD-B的大小；
（2）若E为线段PC上一点，试确定E点的位置，使得平面EBD垂直于平面ABCD，并说明理由．

20. 难度：中等

已知函数
（1）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围；
（2）当x∈（0，2）时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

某公司生产一种产品每年需投入固定成本为0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投入0.25万元．经预测知，当售出这种产品t百件时，若0＜t≤5，则销售所得的收入为5t-t²万元：若t＞5，则销售所得收入为+万元．
（1）若该公司的这种产品的年产量为x百件（x＞0），请把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为当年生产量x的函数；
（2）当年产量为多少时，当年公司所获利润最大？
（3）当年产量为多少时，当年公司不会亏本？（取为4.64）

22. 难度：中等

已知（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）若a＞1，用单调性定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；
（3）是否存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1-log_an，1-log_am]，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，则说明理由．