2012-2013学年甘肃省张掖二中高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，复数=（ ）
A．1-i
B．1+i
C．-1+i
D．i

2. 难度：中等

设全集U是实数集R，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A．{x|-2≤x＜1}
B．{x|-2≤x≤2}
C．{x|1＜x≤2}
D．{x|x＜2}

3. 难度：中等

已知抛物线y²=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．3

4. 难度：中等

函数的部分图象如图所示．则y=f（x）的解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知x，y满足且目标函数z=3x+y的最小值是5，则z的最大值是（ ）
A．10
B．12
C．14
D．15

6. 难度：中等

（理）已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+…+a_n²等于（ ）
A．（2ⁿ-1）²
B．
C．4ⁿ-1
D．

7. 难度：中等

已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为（ ）
A．1
B．±1
C．2
D．±2

8. 难度：中等

一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）则该几何体的体积为（ ）m³．．
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+n，若利用如图所示的种序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）
A．n≤8？
B．n≤9？
C．n≤10？
D．n≤11？

10. 难度：中等

函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．
B．1
C．2
D．

11. 难度：中等

已知点G是△ABC的重心，（ λ，μ∈R），若∠A=120°，，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知抛物线C：y=x²+mx+2与经过A（0，1），B（2，3）两点的线段AB有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1]∪[3，+∞）
B．[3，+∞）
C．（-∞，-1]
D．[-1，3]

二、填空题

13. 难度：中等

为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是    ．

14. 难度：中等

观察下列等式：1²=1，1²-2²=-3，1²-2²+3²=6，1²-2²+3²-4²=-10，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N^*，1²-2²+3²-4²+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b²+c²=a²+bc，则角A的大小为     ．

16. 难度：中等

给出定义：若m-＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（-，]；
②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
③函数y=f（x）在（-，]上是增函数；
④函数y=f（x）的最小正周期为1；
则其中真命题是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，已知A为锐角，f（A）=1，，求AC边的长．

18. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项的和S_n满足S_n²=a_n（S_n-1）．
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，求满足T_n≥6的最小正整数n．

19. 难度：中等

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，，点M在线段EC上．
（I）当点M为EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；
（II）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M-BDE的体积．

20. 难度：中等

已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为，且过点（，1）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线l分别切椭圆C与圆M：x²+y²=R²（其中3＜R＜5）于A、B两点，求|AB|的最大值．

21. 难度：中等

已知函数，在x=1处取得极值为2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上为增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若P（x，y）为图象上的任意一点，直线l与的图象相切于点P，求直线l的斜率的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60° 到OD．
（1）求线段PD的长；
（2）在如图所示的图形中是否有长度为的线段？若有，指出该线段；若没有，说明理由．

23. 难度：中等

已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（-1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．

24. 难度：中等

设函数f（x）=|x-1|+|x-2|
（1）求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若不等式||a+b|-|a-b||≤|a|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求实数x的范围．