2011-2012学年四川省成都市望子成龙学校高二（下）期中数学模拟试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“若x²=1，则x=1或x=-1”的否命题是（ ）
A．若x²≠1，则x=1或x=-1
B．若x²=1，则x≠1且x≠-1
C．若x²≠1，则x≠1或x≠-1
D．若x²≠1，则x≠1且x≠-1

2. 难度：中等

设点P是双曲线上的点，两焦点分别为F₁，F₂，若|PF₁|=7，则|PF₂|=（ ）
A．1
B．13
C．5或13
D．1或13

3. 难度：中等

函数f（x）=3x-x³的单调递增区间是（ ）
A．（-∞，-1）∪（1，+∞）
B．
C．（-1，1）
D．

4. 难度：中等

如图是2010年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0～9中的 一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a₁，a₂，则一定有（ ）
A．a₁＞a₂
B．a₂＞a₁
C．a₁=a₂
D．a₁，a₂的大小与m的值有关

5. 难度：中等

在空间四边形ABCD中，AD=BC=2a，E、F分别是AB、CD的中点，，则异面直线AD与BC所成的角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

6. 难度：中等

若曲线y=x²+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x-y+1=0，则（ ）
A．a=1，b=1
B．a=-1，b=1
C．a=1，b=-1
D．a=-1，b=-1

7. 难度：中等

同时抛掷两个表面上标有数字的正方体，其中有两个面的数字是1，两个面的数字是2，两个面上的数字是4，则朝上的点数之积为4的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如果执行下面的框图，运行结果为（ ）

A．
B．3
C．
D．4

9. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．-1＜a＜2
B．-3＜a＜6
C．a＜-3或a＞6
D．a＜-1或a＞2

10. 难度：中等

设斜率为2的直线l过抛物线y²=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A．y²=±4
B．y²=4
C．y²=±8
D．y²=8

11. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的导函数f′（x）在一个周期内的图象如右图，则下列函数f（x）的解析式中，满足条件的是（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，D、E分别是BC、AB的中点，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB≠AC，AC＞AD，PC与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P-BC-A的平面角为γ，则α，β，γ的大小关系是（ ）

A．α＜β＜γ
B．α＜γ＜β
C．β＜α＜γ
D．γ＜β＜α

二、填空题

13. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²+x+1＞0”的否定是    ．

14. 难度：中等

已知：椭圆的离心率，则实数k的值为    ．

15. 难度：中等

在区间[0，2]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为    ．

16. 难度：中等

已知A、B、C三点在球心为O，半径为3的球面上，且几何体O-ABC为正三棱锥，若A、B两点的球面距离为π，则正三棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．
（Ⅰ）当A=30°时，求a的值；
（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．

18. 难度：中等

为了让学生更多地了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面的频率分布表，解答下列问题：

序号 （i）	分组 （分数）	本组中间值 （Gi）	频数 （人数）	频率 （Fi）
1	（60，70）	65	①	0.12
2	[70，80）	75	20	②
3	[80，90）	85	③	0.24
4	[90，100]	95	④	⑤
合    计			50	1

（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；
（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参赛的800名学生中大概有多少同学获奖？
（3）请根据频率分布表估计该校高二年级参赛的800名同学的平均成绩．

19. 难度：中等

如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分别是CD、SC的中点，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，AB=．
（I）求证：MN⊥平面ABN；
（II）求二面角A-BN-C的余弦值．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x²e^x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证明：当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．

22. 难度：中等

已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；
（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围；
（3）求证：．