2012-2013学年广东省梅州市大埔县高陂中学高三（上）第三次段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对抛物线y=4x²，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为（0，1）
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为（1，0）
D．开口向右，焦点为

2. 难度：中等

已知命题p：∀x＞0，sinx≤1，则（ ）
A．￢p：∃x＞0，sinx≤1
B．￢p：∃x≤0，sinx＞1
C．￢p：∃x＞0，sinx＞1
D．￢p：∃x≤0，sinx≤1

3. 难度：中等

抛物线y²=4ax（a＜0）的焦点坐标是（ ）
A．（a，0）
B．（-a，0）
C．（0，a）
D．（0，-a）

4. 难度：中等

已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么￢A是￢B的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

椭圆5x²+ky²=5的一个焦点是（0，2），那么实数k的值为（ ）
A．-25
B．25
C．-1
D．1

6. 难度：中等

设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率e=（ ）
A．5
B．
C．
D．

7. 难度：中等

双曲线x²-ay²=1的焦点坐标是（ ）
A．（，0），（-，0）
B．（，0），（-，0）
C．（-，0），（，0）
D．（-，0），（，0）

8. 难度：中等

若中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆短轴端点是双曲线y²-x²=1的顶点，且该椭圆的离心率与此双曲线的离心率的乘积为1，则该椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知椭圆=（ ）
A．m=3
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知p是r的充分条件而非必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．现有下列命题：
①s是q的充要条件；     
②p是q的充分非必要条件；
③r是q的必要非充分条件；       
④¬p是¬s的必要非充分条件； 
⑤r是s的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ）
A．①④⑤
B．①②④
C．②③⑤
D．②④⑤

二、填空题

11. 难度：中等

命题“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是     ．

12. 难度：中等

设抛物线y²=4x上一点P到直线x+2=0的距离是5，则点P到抛物线焦点F的距离为    ．

13. 难度：中等

以（1，-1）为中点的抛物线y²=8x的弦所在直线方程为    ．

14. 难度：中等

设F₁、F₂是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，则的值等于    ．

15. 难度：中等

对于曲线C：=1，给出下面四个命题：
①由线C不可能表示椭圆；
②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；
③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜
其中所有正确命题的序号为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

命题P：关于x的方程x²+mx+1=0有两个不等的负实数根，命题q：关于x的方程4x²+4（m-2）x+1=0无实数根．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

已知直线l：y=k（x+1）与抛物线C：y²=4x．
（1）当k为何值时，直线l与抛物线C只有一个公共点．
（2）当k为何值时，直线l与抛物线C有两个不同的公共点．

18. 难度：中等

求与双曲线具有共同渐近线，且经过点P（2，1）的双曲线的标准方程．

19. 难度：中等

△ABC的三边的长|BC|、|AC|、|AB|成等差数列，且满足|BC|＞|AB|，A（-1，0），C（1，0）．求顶点B的轨迹方程．

20. 难度：中等

已知的两个焦点，P是椭圆上一点．
（1）求△PF₁F₂的周长．
（2）若．

21. 难度：中等

已知直线l：y=kx+1与抛物线y=x²交于A、B两点，O是坐标原点．
（1）求证：OA⊥OB．
（2）若三角形AOB的面积为2，求直线l的方程．
（3）是否存在实数k，使A、B两点关于直线对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．