2012-2013学年湖南省长沙市达材学校高三（上）周训数学试卷（理科）（10.21）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，那么m的值可以是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

2. 难度：中等

已知数列{a_n}，那么“对任意的n∈N^*，点P_n（n，a_n）在直线y=2x+1上”是“{a_n}为等差数列”的（ ）
A．必要而不充分条件
B．既不充分也不必要条件
C．充要条件
D．充分而不必要条件

3. 难度：中等

已知，则=（ ）
A．
B．
C．-1
D．±1

4. 难度：中等

已知的图象与y=1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y=f（x）的图象，只须把y=sinωx的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位

5. 难度：中等

已知向量，的夹角为60°，且，则与的夹角等于（ ）
A．150°
B．90°
C．60°
D．30°

6. 难度：中等

函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线为：l：y=g（x）=f′（x）（x-x）+f（x），F（x）=f（x）-g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x＜b，那么（ ）


A．F′（x）=0，x=x是F（x）的极大值点
B．F′（x）=0，x=x是F（x）的极小值点
C．F′（x）≠0，x=x不是F（x）极值点
D．F′（x）≠0，x=x是F（x）极值点

7. 难度：中等

已知函数f（x）=，则函数y=f（2x²+x）-a（a＞2）的零点个数不可能（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

8. 难度：中等

设O为△ABC内一点，若任意k∈R，有，则△ABC的形状一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定

二、填空题

9. 难度：中等

计算：=    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，若tanA+tanB+tanC=1，则tanAtanBtanC=    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0），且a²=b²+1，则不等式f（x）＞0的解集是    ．

12. 难度：中等

一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A，B在一直线上，并与航线成30°角．轮船沿航线前进1000米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东15°方向．则此时轮船到灯塔B的距离CB为    米．

13. 难度：中等

设函数f（x）=x²-ax+a+3，g（x）=ax-2a．若存在x∈R，使得f（x）＜0与g（x）＜0同时成立，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

下列命题：
（1）在△ABC中，“A＜B”是“sinA＜sinB”的必要而非充分条件；
（2）函数f（x）=|sinx-cosx|的最小正周期是π；
（3）在△ABC中，若，，，则△ABC为钝角三角形；
（4）要得到函数y=sin（）的图象，只需将y=sin的图象向右平移个单位．
其中真命题的序号是    ．

15. 难度：中等

给出定义：若m-＜x（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，]；
②函数y=f（x）在[-，]上是增函数；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称．
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b-c，ccosC），=（a，cosA），且∥．
（1）求角A的大小；
（2）求函数y=2sin²B+cos（-2B）的值域．

17. 难度：中等

在贵阳市举办的第九届全国少数民族传统体育运动会的某个餐饮点上，遵义市某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温（单位：℃）有关，若日平均气温不超过23℃，则日销售量为100瓶；若日平均气温超过23℃但不超过26℃，则日销售量为150瓶；若日平均气温超过26℃，则日销售量为200瓶．据气象部门预测，贵阳市在运动会期间每一天日平均气温不超过23℃，超过23℃但不超过26℃，超过26℃这三种情况发生的概率分别为P₁，P₂，P₃，又知P₁，P₂为方程5x²-3x+a=0的两根，且P₂=P₃．
（1）求P₁，P₂，P₃的值；
（2）记ξ表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和（单位：瓶），求ξ的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）

19. 难度：中等

设函数f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²，已知x=-2和x=1为f（x）的极值点．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）设，试比较f（x）与g（x）的大小．