2012-2013学年广东省梅州市五华县皇华中学高三（上）第二次质检数学试卷（理科)（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合，则（ ）
A．i∈A
B．i²∈A
C．i³∈A
D．i⁴∉A

2. 难度：中等

已知函数f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，则f（x）是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数

3. 难度：中等

已知函数f（x）=lg|x|，x∈R且x≠0，则f（x）是（ ）
A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增
B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增
C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减
D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减

4. 难度：中等

设数列{a_n}是公差不为0的等差数列，S_n是数列{a_n}的前n项和，若S₁，S₂，S₄成等比数列，则=（ ）
A．3
B．4
C．6
D．7

5. 难度：中等

“m＜1”是“函数f（x）=x²+x+m有零点”的（ ）
A．充分非必要条件
B．充要条件
C．必要非充分条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

已知向量，，如果向量与垂直，则的值为（ ）
A．1
B．
C．5
D．

7. 难度：中等

已知x，y满足，则z=2x-y的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．2

8. 难度：中等

定义，其中a，b，c，d∈{-1，1，2，3，4}，且互不相等．则的所有可能且互不相等的值之和等于（ ）
A．2012
B．-2012
C．0
D．以上都不对

二、填空题

9. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，a₅=9，则S₆=    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，已知a，b，c分别∠A，∠B，∠C所对的边，S为△ABC的面积，若向量，满足，则∠C=    ．

11. 难度：中等

=    ．

12. 难度：中等

设抛物线C：y²=4x的准线与对称轴相交于点P，过点P作抛物线C的切线，切线方程是    ．

13. 难度：中等

已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=2，且对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，则f（3）=    ；f（2009）=    ．

14. 难度：中等

如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cos（x-），x∈R．
（1）求f（x）的最大值；
（2）设△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，若B=2A，且b=2af（A-），求角C的大小．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S是该三角形的面积．
（1）若，，，求角B的度数；
（2）若a=8，，，求b的值．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}是首项为2，公比为的等比数列，S_n为{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项a_n及S_n；
（2）设数列{b_n+a_n}是首项为-2，第三项为2的等差数列，求数列{b_n}的通项公式及其前n项和T_n．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a．
（I）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

19. 难度：中等

设数列{a_n}是首项为a₁（a₁＞0），公差为2的等差数列，其前n项和为S_n，且成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n]的通项公式；
（Ⅱ）记的前n项和为T_n，求T_n．

20. 难度：中等

已知函数．
（1）当时，如果函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点，求实数k的取值范围；
（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小；
（3）求证：（n∈N^*）．