2012-2013学年天津市塘沽区高三（上）第二次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比q=2，前n项和为S_n，则=（ ）
A．2
B．4
C．
D．

2. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且 a₁+a₇+a₁₃=4，则a₂+a₁₂的值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．

3. 难度：中等

函数的定义域是：（ ）
A．[1，+∞）
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为棱DC的中点，则D₁P与BC₁所在直线所成角的余弦值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知=（6，0），=（-5，5），则与的夹角为（ ）
A．45°
B．60°
C．135°
D．120°

6. 难度：中等

设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④m⊂α，n⊂α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
其中真命题的序号是（ ）
A．①③④
B．①②③
C．①③
D．②④

7. 难度：中等

下列各条件中，p是q的充分不必要条件的是（ ）
A．p：（x-1）（y-2）=0；q：（x-1）²+（y-2）²=0
B．p：x²-2x-3=0；q：
C．p：A∧B为假；q：A∨B为假
D．p：f（x）=（5-2a）^x为减函数；q：不等式|x-1|＜a-2有解

8. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}满足：a₃=a₂+2a₁，若存在两项a_m，a_n，使得，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在

二、填空题

9. 难度：中等

曲线y=x³-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角的弧度数为    ．

10. 难度：中等

若数列{a_n}的前n项和，则a_n=    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则a=    ．

12. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积为    ．

13. 难度：中等

在边长为1的等边△ABC中，的值为    ．

14. 难度：中等

在等比数列，又取最大值时n的值等于    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若，求sin2α的值；
（II）设，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

已知函数的最小正周期为3π，
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求∠C及sinA的值．

17. 难度：中等

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，
且M是BD的中点．
（1）求证：EM∥平面ADF；
（2）求直线DF和平面ABCD所成角的正切值；
（3）求二面角D-AF-B的大小．

18. 难度：中等

设数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+1（n≥2），且a₁=1，b_n=log₂（a_n+1）．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（3）求数列的前n项和S_n．

19. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为s_n，a₁=1，a_n+1=2s_n+1，（n≥1），等差数列{b_n}的各项均为正数，前n项和为B_n，且B₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，求T_n的表达式．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x（a∈R），f′（x）为f（x）的导数．
（1）当a=-3时，求y=f（x）的单调区间和极值；
（2）设，是否存在实数，对于任意的x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]，使得f′（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．