2012-2013学年湖北省黄冈市麻城实验高中高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|y=}，B={y|y=lgx，1≤x≤100}，则A∩B=（ ）
A．[1，100]
B．[1，2]
C．[0，2]
D．[0，10）

2. 难度：中等

下列有关命题的说法中，正确的是（ ）
A．命题“若x²＞1，则x＞1”的否命题为“若x²＞1，则x≤1”
B．命题“若α＞β，则tanα＞tanβ”的逆否命题为真命题
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x²+x+1＞0”
D．“x＞1”是“x²+x-2＞0”的充分不必要条件

3. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

4. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_2n=4（a₁+a₃+…+a_2n-1），a₁a₂a₃=27，则a₆=（ ）
A．27
B．81
C．243
D．729

5. 难度：中等

若在直线l上存在不同的三个点A，B，C，使得关于实数的方程有解（点O不在l上），则此方程的解集为（ ）
A．{-1}
B．{0}
C．
D．{-1，0}

6. 难度：中等

设x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．5
B．6
C．8
D．10

7. 难度：中等

由曲线y=-，直线y=x-2及y轴所围成图形的面积为（ ）
A．
B．4
C．
D．6

8. 难度：中等

设a是函数f（x）=|x²-2|-lnx在定义域内的最小零点，若0＜x＜a，则f（x）的值满足（ ）
A．f（x）＞0
B．f（x）＜0
C．f（x）=0
D．f（x）的符号不确定

9. 难度：中等

已知函数，若数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N₊）且对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m-n）（a_m-a_n）＞0，那么实数a的取值范围是（ ）
A．[，3）
B．（，3）
C．（2，3）
D．（1，3）

10. 难度：中等

定义域为R的函数f（x）满足f（1）=1且f（x）的导函数，则满足2f（x）＜x+1的x的集合为（ ）
A．（-1，1）
B．（-∞，1）
C．（-∞，1）∪（1，+∞）
D．（1，+∞）

二、填空题

11. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）=ln（x²+1）+|x|，不等式f（2x-1）＞f（x+1）的解为    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}通项为，S_n为其前n项的和，则S₂₀₁₂=    ．

13. 难度：中等

已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，若，则λ=    ．

14. 难度：中等

已知方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两个实根x₁，x₂，满足0＜x₁＜1＜x₂，则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

关于函数，有下列命题
①其图象关于y轴对称；
②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；
③f（x）的最小值是lg2；
④f（x）在区间（-1，0）、（2，+∞）上是增函数；
⑤f（x）无最大值，也无最小值
其中所有正确结论的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．

17. 难度：中等

设有两个命题：
命题p：不等式|x-1|+|x-3|＞a对一切实数x都成立；
命题q：已知函数f（x）=mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线2x+y=1平行，且f（x）在[a，a+1]上单调递减．
若命题“p或q“为真，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产里x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额R（单位：元）与日产量x满足函数关系式，已知每日的利润L=S-C，且当x=2时，L=3
（I）求k的值；
（II）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值．

19. 难度：中等

设S_n为数列{a_n}的前n项和，Sn=λa_n-1（λ为常数，n=1，2，3，…）．
（I）若a₃=a₂²，求λ的值；
（II）是否存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在．请说明理由
（III）当λ=2时，若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且b₁=，令，求数列{c_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|²+|OB|²＜|AB|²，求a的取值范围．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x（x-1）²，x＞0
（1）求f（x）的极值；
（2）设函数g（x）=lnx-2x²+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且仅有一个，求实数m和t的值；
（3）设a＞0，试讨论方程的解的个数，并说明理由．