2012-2013学年黑龙江省双鸭山一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合 M={x|x²+x-6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（ ）
A．[1，2）
B．[1，2]
C．（2，3]
D．[2，3]

2. 难度：中等

复数的共轭复数的虚部为（ ）
A．-i
B．-1
C．1
D．i

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁₅=25π，则tana₈的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知α、β表示两个不同的平面，直线m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知程序框图如图所示，则输出的s为（ ）

A．2²⁰¹³-2
B．2²⁰¹³-1
C．2²⁰¹⁴-2
D．2²⁰¹⁴-1

7. 难度：中等

若命题p：∀x∈[1，2]，x²≥a；命题q：∃x∈R，x²+2ax+2-a=0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-2]
B．（-2，1）
C．（-∞，-2]∪{1}
D．[1，+∞）

8. 难度：中等

如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（ ）
A．20
B．18
C．16
D．9

10. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，，，则C=（ ）
A．
B．
C．或
D．

11. 难度：中等

过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x²+y²=a²的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．2
D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）满足，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为    ．

14. 难度：中等

将A、B、C、D四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且A、B两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为    ．

15. 难度：中等

已知a=，则二项式展开式中x的一次项系数为    ．

16. 难度：中等

过圆x²+y²=4内点作圆的两条互相垂直的弦AB和CD，则AB+CD的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足
（I）求角C的大小；
（II）求函数的最大值，并求取得最大值时x的大小．

18. 难度：中等

某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

	文艺节目	新闻节目	总计
20至40岁	40	10	50
大于40岁	20	30	50
总计	60	40	100

（1）由表中数据检验，有没有99.9%把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关？
（2）20至40岁，大于40岁中各抽取1名观众，求两人恰好都收看文艺节目的概率．

P（k^2＞k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.84	5.024	6.635	7.879	10.83

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项，，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和S_n．

20. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．

21. 难度：中等

已知A，B，C均在椭圆上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F₁、F₂，当时，有．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任一条直径，求的最大值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）当0＜x＜y＜e²且x≠e时，试比较的大小．