2012-2013学年湖南省长沙市达材学校高三（上）周训数学试卷（理科）（10.7）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|x≥}，则∁_RA=（ ）
A．（-∞，0]∪（，+∞）
B．（，+∞）
C．（-∞，0]∪[，+∞）
D．[，+∞）

2. 难度：中等

函数在区间[0，2π]上的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

已知条件p：|x-4|≤6；条件q：（x-1）²-m²≤0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A．[21，+∞）
B．[9，+∞）
C．[19，+∞）
D．（0，+∞）

4. 难度：中等

如果等差数列{a_n}中，a₃+a₄+a₅=12，那么a₁+a₂+…+a₇=（ ）
A．14
B．21
C．28
D．35

5. 难度：中等

为了得到函数y=sin（2x-）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位

6. 难度：中等

如图是导函数y=f′（x）的图象，则下列命题错误的是（ ）
A．导函数y=f′（x）在x=x₁处有极小值
B．导函数y=f′（x）在x=x₂处有极大值
C．函数y=f（x）在x=x₃处有极小值
D．函数y=f（x）在x=x₄处有极小值

7. 难度：中等

设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，设f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x-3在[a，b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ）
A．[1，4]
B．[2，3]
C．[3，4]
D．[2，4]

8. 难度：中等

若函数y=f（x）满足f′（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）与e^af（0）之间大小关系为（ ）
A．f（a）＜e^af（0）
B．f（a）＞e^af（0）
C．f（a）=e^af（0）
D．与f（x）或a有关，不能确定

二、填空题

9. 难度：中等

命题“∀x∈R，2^x-1＞0”的否定是    ．

10. 难度：中等

已知，，且，则向量与向量的夹角是    ．

11. 难度：中等

，则实数a等于    ．

12. 难度：中等

已知a是第二象限的角，tan（π+2a）=-，则tana=    ．

13. 难度：中等

已知函数，则不等式f（x）-x≤2的解集是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R有f（x）=f（2-x）成立，则f（2010）的值为    ．

15. 难度：中等

若函数y=f（x），x∈D同时满足下列条件，（1）在D内为单调函数；（2）存在实数m，n．当x∈[m，n]时，y∈[m，n]，则称此函数为D内等射函数，设（a＞0，且a≠1）则：
（1）f（x）在（-∞，+∞）的单调性为    ；
（2）当f（x）为R内的等射函数时，a的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+，满足．
（1）求f（x）的最大值及此时x取值的集合；
（2）求f（x）的增区间．

17. 难度：中等

某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

18. 难度：中等

某森林出现火灾，火势正以每分钟100m²的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m²，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1m²森林损失费为60元，（t表示救火时间，x表示去救火消防队员人数），问；
（1）求t关于x的函数表达式．
（2）求应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？

19. 难度：中等

已知函数f（x）=（x＞0），
（1）函数f（x） 在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞恒成立；
（3）试证：…[1+n（n+1）]＞e^2n-3（n∈N^*）．