2012-2013学年广东省阳江市阳春一中高三（上）第二次月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|2x+1＜3}，B={x|-3＜x＜2}，则A∩B等于（ ）
A．{x|-3＜x＜1}
B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞-3}
D．{x|x＜1}

2. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（ ）
A．¬p：∃x∈R，sinx≥1
B．¬p：∀x∈R，sinx≥1
C．¬p：∃x∈R，sinx＞1
D．¬p：∀x∈R，sinx＞1

3. 难度：中等

设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知f（x）=|log_ax|，其中0＜a＜1，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

过点（-1，0）作抛物线y=x²+x+1的切线，则其中一条切线为（ ）
A．2x+y+2=0
B．3x-y+3=0
C．x+y+1=0
D．x-y+1=0

7. 难度：中等

函数f（x）=ln（x+1）-的零点所在的大致区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

8. 难度：中等

关于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

9. 难度：中等

设，则使函数y=x^α的定义域为R且为奇函数的所有α的值之和为    ．

10. 难度：中等

=    ．

11. 难度：中等

方程log₃（2x-1）=1的解x=    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数．当x∈（-∞，0）时，f（x）=x-x⁴，则当x∈（0，+∞）时，f（x）=    ．

13. 难度：中等

若函数f（x）=x³-3bx+b在区间（0，1）内有极小值，则b的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为     ．

15. 难度：中等

如图，已知圆O的半径为2，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为，AB=3，则切线AD的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，，．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）设，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

在某次乒乓球比赛中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两个比赛一场），共比赛三场．若这三人在以往的相互比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为 ．
（Ⅰ）求甲获第一、丙获第二、乙获第三的概率；
（Ⅱ）若每场比赛胜者得1 分，负者得0 分，设在此次比赛中甲得分数为X，求EX．

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．
（3）求二面角C₁-AB-C的正切值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数f（x）在区间内是减函数，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数．
（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（II）若对任意的实数，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（III）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

21. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设直线l：y=t²-t（其中0＜t＜，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S₁（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是S₂（t），设，当g（t）取最小值时，求t的值．
（3）已知m≥0，n≥0，求证：．