2012-2013学年广东省汕尾市陆丰市碣石中学高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

巳知全集，i是虚数单位，集合M=Z（整数集）和的关系韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．无穷个

2. 难度：中等

设M={x|x²-x≤0}，函数f（x）=ln（1-x）的定义域为N，则M∩N=（ ）
A．[0，1）
B．（0，1）
C．[0，1]
D．（-1，0]

3. 难度：中等

在△ABC中sinA=是A=的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数y=的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）=3sin（2x-）的图象为C，下列结论中正确的是（ ）
A．图象C关于直线x=对称
B．图象C关于点（-，0）对称
C．函数f（x）在区间（-，）内是增函数
D．由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C

7. 难度：中等

设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中不正确的是（ ）
A．若l⊥α，则与α相交
B．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
C．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α
D．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则∥n

8. 难度：中等

对于使-x²+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做-x²+2x的上确界，若a，b∈R⁺，且a+b=1，则的上确界为（ ）
A．
B．
C．
D．-4

二、填空题

9. 难度：中等

抛物线y=x²+x+1在点（0，1）处的切线方程为    ．

10. 难度：中等

已知等比数列{a_n}各项均为正数，前n项和为S_n，若a₂=2，a₁a₅=16．则公比q=    ，S₅=    ．

11. 难度：中等

若的展开式中x⁴的系数为    ．

12. 难度：中等

已知函数若f（f（0））=4a，则实数a=    ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系上，设不等式组所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为．则a₁=    ，经推理可得到a_n=    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图4，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（1）求该函数的最小正周期和最小值；
（2）若x∈[0，π]，求该函数的单调递增区间．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知 a=2bsinA，．
（1）求B的值；
（2）若△ABC的面积为，求a，b的值．

18. 难度：中等

甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分．已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为．
（I）求甲恰好得30分的概率；
（II）设乙的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（III）求甲恰好比乙多30分的概率．

19. 难度：中等

在数列{a_n}中，a，并且对任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为T_n，证明：．

20. 难度：中等

已知椭圆过点，且离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）= 
（1）求函数f（x）的极值；
（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证[（n+1）!]²＞（n+1）e^n-2  （n∈N^*）．