2012-2013学年北大附中河南分校高三（上）第四次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a是实数，且，则实数a=（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．-2

2. 难度：中等

集合A={x|x²-2x≤0}，B={x|y=lg（1-x）}，则A∩B等于（ ）
A．{x|0＜x≤1}
B．{x|0≤x＜1}
C．{x|1＜x≤2}
D．{x|1≤x＜2}

3. 难度：中等

已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比q=2，前n项和为S_n，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

定义行列式运算=a₁a₄-a₂a₃．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设等差数{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₅＞0，S₁₆＜0，则中最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

等腰三角形ABC中，AB=AC=5，∠B=30°，P为BC边中线上任意一点，则的值为（ ）
A．
B．
C．5
D．

8. 难度：中等

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a₂=7，a_n+2等于a_na_n+1（n∈N^*）的个位数，则a₂₀₁₃的值是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2

9. 难度：中等

在同一坐标系中画出函数y=log_ax，y=a^x，y=x+a的图象，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

给出下列四个命题：
①若集合A，B满足A∩B=A，则A⊆B；
②给定命题p，q，若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；
③设a，b，m∈R，若a＜b，则am²＜bm²；
④若直线l₁：ax+y+1=0与直线l₂：x-y+1=0垂直，则a=1．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

11. 难度：中等

已知函数f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂的值为（ ）
A．1-log₂₀₁₃2012
B．-1
C．-log₂₀₁₃2012
D．1

12. 难度：中等

偶函数，则关于x的方程上解的个数是（ ）
A．l
B．2
C．3
D．4

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量与的夹角为，则|5|=    ．

14. 难度：中等

已知函数，则f（f（0）-3）=．    ．

15. 难度：中等

已知正实数x，y满足x+y+3=xy，若对任意满足条件的x，y，都有（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为    ．

16. 难度：中等

设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤f（）|对一切x∈R恒成立，则
①f（）=0；
②|f（）|＜|f（）|；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数f（x）的图象相交．
以上结论正确的是    （写出所有正确结论的编号）．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，），其部分图象如图所示．
（I）求f（x）的解析式；
（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃（1-S_n+1），求适合方程的n的值．

19. 难度：中等

已知向量=（sinx，），=（cosx，-1）．
（1）当时，求cos²x-sin2x的值；
（2）设函数f（x）=2（）-，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求 f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．

20. 难度：中等

设正项等比数列{a_n}的首项，前n项和为S_n，且2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0．
（Ⅰ）求{a_n}的通项；
（Ⅱ）求{nS_n}的前n项和T_n．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）已知函数f（x）在x=1处取得极值，且对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．

22. 难度：中等

设函数f（x）=xe^x，g（x）=ax²+x
（I）若f（x）与g（x）具有完全相同的单调区间，求a的值；
（Ⅱ）若当x≥0时恒有f（x）≥g（x），求a的取值范围．