2012-2013学年安徽省六安市霍邱一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，，则C_R（M∩N）=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

复数a²-a-6+（a²+a-12）i为纯虚数的充要条件是（ ）
A．a=-2
B．a=3
C．a=3或a=-2
D．a=3或a=-4

3. 难度：中等

若函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则ω=（ ）
A．
B．1
C．2
D．4

4. 难度：中等

已知A、B是两个不同的点，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则①m⊂α，A∈m⇒A∈α；②m∩n=A，A∈α，B∈m⇒B∈α；③m⊂α，m⊥β⇒α⊥β；④m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β．其中真命题为（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

5. 难度：中等

若函数f（x）=（k-1）a^x-a^-x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=log_a（x+k）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率e为（ ）
A．
B．2
C．
D．

7. 难度：中等

已知△ABC中，AB=AC=4，BC=，点P为BC边所在直线上的一个动点，则满足（ ）
A．最大值为16
B．最小值为4
C．为定值8
D．与P的位置有关

8. 难度：中等

实数a，b，c，d满足a＜b，c＜d，a+b＜c+d，ab=cd＜0，则a，b，c，d四个数的大小关系为（ ）
A．c＜a＜d＜b
B．c＜d＜a＜b
C．a＜c＜b＜d
D．a＜b＜c＜d

9. 难度：中等

如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

P，Q 是平面α 内两个定点，点M 为平面α 内的动点，且 （λ＞0，且λ≠1），点M 的轨迹所围成的平面区域的面积为S，设S=f（λ） （λ＞0，且λ≠1），则以下判断正确的是（ ）
A．f（λ）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上也是增函数
B．f（λ）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上也是减函数
C．f（λ）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
D．f（λ）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数

二、填空题

11. 难度：中等

学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为    ．

12. 难度：中等

如图所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成，箭头将告诉你下一步到哪一个框图．阅读右边的流程图，并回答下面问题：
若0＜m＜1，a=m，b=m^m，c=，则输出的数是    ．

13. 难度：中等

已知x，y满足且z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则    ．

14. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD的体积为    ．

15. 难度：中等

有A，B，C，D四个城市，它们各有一个著名的旅游点依此记为a，b，c，d．把A，B，C，D和a，b，c，d分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来，构成“一一对应”，如果某个旅游点是与该旅游点所在的城市相连的（比如A与a相连）就得2分，否则就得0分；则该爱好者得分的数学期望为    ．

16. 难度：中等

已知向量满足，，则的取值范围为    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=，若对于任意实数x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数，．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在上恒成立，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程的两实根，且a₁=1．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）S_n是数列{a_n}的前n项的和．问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对∀n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

如图，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2．点A、D分别是RB、RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连接PB、PC．
（1）求证：BC⊥PB；
（2）求二面角A-CD-P的平面角的余弦值．

21. 难度：中等

已知点P（a，-1）（a∈R），过点P作抛物线C：y=x²的切线，切点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求x₁与x₂的值（用a表示）；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线AB相切，求圆E面积的最小值．

22. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（Ⅱ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？