2012-2013学年山东省青岛市黄岛开发区一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={m，-3}，N={x|2x²+7x+3＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则m等于（ ）
A．-1
B．-2
C．-2或-1
D．

2. 难度：中等

设复数（其中i为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．2i
B．0
C．-10
D．2

3. 难度：中等

“a＜4”是“对任意的实数x，|2x-1|+|2x+3|≥a成立”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既非充分也非必要条件

4. 难度：中等

已知函数，则的值是（ ）
A．7
B．2
C．5
D．3

5. 难度：中等

某小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量（单位：m³）的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15m³的住户的户数为（ ）

A．10
B．50
C．60
D．140

6. 难度：中等

在2010年开展的全国第六次人口普查中发现，某市市民月收入ξ （单位：元）服从正态分布N（3000，σ²），且P（ξ＜1000）=
0.1962，则P（3000≤ξ≤5000）=（ ）
A．0.8038
B．0.3038
C．0.6076
D．0.3924

7. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4

8. 难度：中等

设a=（1-3x²）dx+4，则二项式（x²+）⁶展开式中不含x³项的系数和是（ ）
A．-160
B．160
C．161
D．-161

9. 难度：中等

已知圆（x-a）²+（y-b）²=r²的圆心为抛物线y²=4x的焦点，且与直线3x+4y+2=0相切，则该圆的方程为（ ）
A．
B．
C．（x-1）²+y²=1
D．x²+（y-1）²=1

10. 难度：中等

已知f（x）=sin（x+），g（x）=cos（x-），则f（x）的图象（ ）
A．与g（x）的图象相同
B．与g（x）的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位，得到g（x）的图象
D．向右平移个单位，得到g（x）的图象

11. 难度：中等

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数，，．那么下面命题中真命题的序号是（ ）
①f（x）的最大值为f（x）
②f（x）的最小值为f（x）
③f（x）在上是增函数      
④f（x）在上是增函数．
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

二、填空题

13. 难度：中等

已知tanα=2，则sinαcosα=    ．

14. 难度：中等

圆x²+y²-4x-4y+7=0上的动点P到直线x+y=0的最小距离为    ．

15. 难度：中等

设x、y满足约束条件，则目标函数z=x²+y²的最大值为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．

x	-1		4	5
f（x）	1	2	2	1

下列关于f（x）的命题：
①函数f（x）的极大值点为0，4；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点；
⑤函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量，，设函数•，若函数g（x）的图象与f（x）的图象关于坐标原点对称．
（Ⅰ）求函数g（x）在区间[-]上的最大值，并求出此时x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f（A）-g（A）=，b+c=7，△ABC的面积为2，求边a的长．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=（a，b为实数，且a＞1）在区间[-1，1]上的最大值为1，最小值为-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-mx在区间[-2，2]上为减函数，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：，，f₃（x）=2，，，f₆（x）=xcosx．
（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₁=-1，前12项和S₁₂=186．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，记数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式T_n＜m对所有n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

椭圆中心是原点O，它的短轴长为，右焦点F（c，0）（c＞0），它的长轴长为2a（a＞c＞0），直线l：与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）若，求直线PQ的方程；
（Ⅲ）设 （λ＞1），过点P且平行于直线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²（其中e是自然对数的底数），已知x=-2和x=1为函数f（x）的极值点．
（Ⅰ）求实数a和b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数M，使方程f（x）=M有4个不同的实数根？若存在，求出实数M的取值范围；若不存在，请说明理由．