2012-2013学年山东省烟台市莱州一中高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，A={x|x（x+3）＜0}，B={x|x＜-1}，则图中阴影部分表示集合（ ）

A．{x|-3＜x＜-1}
B．{x|-3＜x＜0}
C．{x|x＞0}
D．{x|x＜-1}

2. 难度：中等

平面向量、的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+|=（ ）
A．
B．
C．3
D．7

3. 难度：中等

函数f（x）=（x+1）lnx的零点有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

4. 难度：中等

如图，水平放置的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面A₁B₁C₁，其正视图是边长为a的正方形．俯视图是边长为a的正三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）

A．a²
B．a²
C．a²
D．a²

5. 难度：中等

已知各项为正的等比数列{a_n}中，a₄与a₁₄的等比中项为，则2a₇+a₁₁的最小值为（ ）
A．16
B．8
C．
D．4

6. 难度：中等

已知函数y=f（x）在（0，1）内的一段图象是如图所示的一段圆弧，若0＜x₁＜x₂＜1，则（ ）

A．＜
B．=
C．＞
D．不能确定

7. 难度：中等

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则B=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

函数是R上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．

9. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

10. 难度：中等

已知双曲线的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．y=±2
D．

11. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d不为0，等比数列{b_n}的公比q是小于1的正有理数．若a₁=d，b₁=d²，且是正整数，则q等于（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

若直线y=k（x-4）与曲线y=有公共点，则（ ）
A．k有最大值，最小值-
B．k有最大值，最小值-
C．k有最大值0，最小值-
D．.k有最大值0，最小值-

二、填空题

13. 难度：中等

不等式的解集是    ．

14. 难度：中等

设直线x-my-1=0与圆（x-1）²+（y-2）²=4相交于A，B两点，且弦AB的长为，则实数m的值是    ．

15. 难度：中等

已知O坐标原点，点M（1，-2），点N（x，y），则的最大值为    ．

16. 难度：中等

已知定义在R的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1），下面四种说法
①f（3）=1；
②函数f（x）在[-6，-2]上是增函数；
③函数f（x）关于直线x=4对称；
④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上所有根之和为-8，
其中正确的序号    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=1+sinxcosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若tanx=2，求f（x）的值．

18. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E、F分别是A₁C₁，BC的中点．
（1）证明：平面AEB⊥平面BB₁C₁C；
（2）证明：C₁F∥平面ABE；
（3）设P是BE的中点，求三棱锥P-B₁C₁F的体积．

19. 难度：中等

已知x=1是函数f（x）=（ax-2）e^x的一个极值点．（a∈R）
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当x₁，x₂∈[0，2]时，证明：f（x₁）-f（x₂）≤e．

20. 难度：中等

在数列{a_n}中，，若函数f（x）=x³+1在点（1，f（1））处切线过点（a_n+1，a_n）．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式和前n项和公式S_n．

21. 难度：中等

设F₁，F₂分别是椭圆：的左、右焦点，过F₁倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设点M（0，-1）满足|MP|=|MQ|，求该椭圆的方程．

22. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．