2012-2013学年山东省泰安市宁阳二中高二（上）期末数学模拟试卷4（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

数列0，-1，0，1，0，-1，0，1，…的一个通项公式是（ ）
A．
B．cos
C．cos
D．cos

2. 难度：中等

已知不等式ax²-5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}，则不等式bx²-5x+a＞0的解集为（ ）
A．{x|-＜x＜}
B．{x|x＜-或x＞}
C．{x|-3＜x＜2}
D．{x|x＜-3或x＞2}

3. 难度：中等

已知a∈R，则“a＞2”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，-4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A．（x≠0）
B．（x≠0）
C．（x≠0）
D．（x≠0）

5. 难度：中等

空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，β∈R，α+β=1，则点C的轨迹为（ ）
A．平面
B．直线
C．圆
D．线段

6. 难度：中等

在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在等比数列中{a_n}中，若a₃a₅a₇a₉a₁₁=243，则的值为（ ）
A．9
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

已知点（x，y）在给出的平面区域内（如图阴影部分所示），其中A（1，1），B（2，5），C（4，3），若使目标函数Z=ax-y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（ ）
A．
B．1
C．4
D．

9. 难度：中等

在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形
D．钝角三角形

10. 难度：中等

等差数列{a_n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）
A．130
B．170
C．210
D．260

11. 难度：中等

已知F₁，F₂是双曲线的两焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A．4+2
B．-1
C．
D．

12. 难度：中等

四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为矩形，AB=1，AD=2，AA₁=3，∠A₁AB=∠A₁AD=60°，则AC₁的长为（ ）
A．
B．23
C．
D．32

二、填空题

13. 难度：中等

三角形的两边分别为3cm，5cm，其所夹角的余弦为方程5x²-7x-6=0的根，则这个三角形的面积是    cm²．

14. 难度：中等

数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-49，S_n达到最小时，n等于    ．

15. 难度：中等

点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，则点M的轨迹方程是    ．

16. 难度：中等

有下列命题：
①双曲线-=1与椭圆有相同焦点；
②“-＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”必要不充分条件；
③若、共线，则、所在的直线平行；
④若，，三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；
⑤∀x∈R，x²-3x+3≠0．
其中是真命题的有：    ．（把你认为正确命题的序号都填上）

三、解答题

17. 难度：中等

给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

△ABC中，a，b，c分别是角A．B，C的对边，且有sin2C+cos（A+B）=0，若a=4，c=，求△ABC的面积．

19. 难度：中等

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=，∠ABC=60°．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的余弦值．

20. 难度：中等

某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值．（最佳使用年限佳是使年平均费用的最小的时间）

21. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1，数列{b_n}满足a₁=b₁，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{c_n}的前n项和T_n．

22. 难度：中等

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线l与椭圆相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，试探究点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．