2016届湖南师大附中高三上学期第四次月考文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

（2015•湖州二模）命题“∀x∈R，x²﹣2x+4≤0”的否定为（  ）

A．∀x∈R，x²﹣2x+4≥0   

B．∃x∈R，x²﹣2x+4＞0

C．∀x∉R，x²﹣2x+4≤0   

D．∃x∉R，x²﹣2x+4＞0

2. 难度：简单

（2015秋•湖南校级月考）雅礼中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号，求得间隔数k=20，即分50组每组20人．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应取的号码是（  ）

A．177    B．157    C．417    D．367

3. 难度：简单

（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（  ）

A．y=lnx    B．y=x²+1    C．y=sinx    D．y=cosx

4. 难度：简单

（2015秋•湖南校级月考）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣2为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是（  ）

A．    B．    C．    D．

5. 难度：简单

（2015•铜川三模）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（  ）

A．6万元    B．8万元    C．10万元    D．12万元

6. 难度：简单

（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（  ）

A．    B．    C．    D．

7. 难度：中等

（2015•四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（  ）

A．144个    B．120个    C．96个    D．72个

8. 难度：简单

（2013•乌鲁木齐一模）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其 中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（  ）

A．[6k﹣1，6k+2]（k∈z）   

B．[6k﹣4，6k﹣1]（k∈z）   

C．[3k﹣1，3k+2]（k∈z）   

D．[3k﹣4，3k﹣1]（k∈z）

9. 难度：简单

（2015•浙江）已知{a_n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S_n，若a₃，a₄，a₈成等比数列，则（  ）

A．a₁d＞0，dS₄＞0   

B．a₁d＜0，dS₄＜0   

C．a₁d＞0，dS₄＜0   

D．a₁d＜0，dS₄＞0

10. 难度：困难

（2015春•武汉校级期中）设F₁，F₂是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，若，（c为半焦距），则双曲线的离心率为（  ）

A．    B．    C．2    D．

11. 难度：困难

（2015秋•陕西校级期中）一个二元码是由0和1组成的数字串x₁x₂…x_n（n∈N^*），其中x_k（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x₁x₂…x₇的码元满足如下校验方程组：，其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于（  ）

A．4    B．5    C．6    D．7

12. 难度：简单

（2015•福建）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（  ）

A．   

B．   

C．   

D．

二、填空题

13. 难度：简单

（2015•南关区校级三模）sin15°+cos15°=     ．

14. 难度：中等

（2015•上海）在（1+x+）¹⁰的展开式中，x²项的系数为      （结果用数值表示）．

15. 难度：中等

（2015秋•湖南校级月考）如图所示，，O为△ABC的内心，则的值为     ．

16. 难度：中等

（2012•蓝山县校级模拟）如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点（1，0）处标数字1，点（1，﹣1）处标数字2，点（0，﹣1）处标数字3，点（﹣1，﹣1）处标数字4，点（﹣1，0）处标数字5，点（﹣1，1）处标数字6，点（0，1）处标数字7，…以此类推，

①标数字50的格点的坐标为      ．

②记格点坐标为（m，n）的点（m、n均为正整数）处所标的数字为f（m，n），若n＞m，则f（m，n）=      ．

三、解答题

17. 难度：中等

（2015秋•湖南校级月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

（1）求tanC的值；

（2）若，求边c的长及△ABC的面积．

18. 难度：中等

（2016•贵阳一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．

（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AB=2，BC=，在直线AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由．

四、填空题

19. 难度：中等

（2014•马鞍山一模）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

五、解答题

20. 难度：困难

（2013•浙江二模）已知函数f（x）=（其中a为常数）．

（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当0＜a＜1时，设函数f（x）的3个极值点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃．证明：x₁+x₃＞．

21. 难度：中等

（2015•河北）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．

（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．

22. 难度：中等

（2015•葫芦岛二模）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为（，），直线的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线上．

（1）求a的值及直线的直角坐标方程；

（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．

23. 难度：中等

（2014•河南模拟）已知函数f（x）=|x+a|+|2x﹣1|（a∈R）．

（1）当a=1，求不等式f（x）≥2的解集；

（2）若f（x）≤2x的解集包含[，1]，求a的取值范围．

24. 难度：中等